Недосконалий ізоморфізм підграфа

Розглянемо наступну проблему: Враховуючи графік запиту та референтний графік , ми хочемо знайти інжективне відображення яке мінімізує кількість ребра такі, що . Це узагальнення проблеми ізоморфізму підграфа, де ми дозволяємо ізографам підграфів до кількох відсутніх ребер і хочемо знайти спосіб мінімізувати кількість ребер, що відсутні. $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$ $f : V \rightarrow V'$ $(v_1, v_2) \in E$ $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$

Мене також зацікавила б зважена версія цієї проблеми, де вершинні пари мають вагу (яка повинна бути нульовою, якщо , а також для , і ми хочемо мінімізувати ( чи варто лише штрафувати ваги з графіка запиту, які будуть більшими, ніж еталонні. $(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$

Моє запитання: чи вже вивчена ця проблема? Чи має це відоме ім’я? Чи відомі ефективні алгоритми наближення?

Мотивація цієї проблеми (крім того, що це виглядає як природне узагальнення проблеми ізоморфізму підграфа) полягає в тому, що це приємний спосіб скласти план таблиці для вечірки: графік запиту - це графік гостей з крайовими вагами відображаючи ступінь взаємодії двох людей, референтний графік містить місця таблиці у вигляді вершин і обважнювачів, що вказують, наскільки можлива комунікація, рішенням проблеми є зіставлення людей з місць на стіл, що поважає соціальну структуру якомога повніше.

— a3nm
джерело

Навіщо вам потрібне "спонукання" в заголовку?

— Йота Отачі

@Yota Otachi: Тому що я заплутався. Спасибі!

— a3nm

Ваша проблема - максимальна задача підграфа загального краю (Max CES), визначена таким чином: задавши два графіки і , знайдіть графік з максимальною кількістю ребер, яка є ізоморфною для підграфа та підграфа . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Доведення : Ви знаходите підграф of ізоморфний підграфу , де зводиться до мінімуму. Оскільки є інваріантом , мінімізується, якщо і лише тоді, коли максимізовано. Зрозуміло, що є ізоморфним для підграфа та до підграфа $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ . QED $G'$

Наближеність. У кандидатській дисертації Канна я знайшов опис "невідомого, що є приблизним в межах постійної" [3] (с. 115). У недавній роботі Bahiense et al. [1], згадується, що якщо та вони не повинні бути рівними, проблема стає APX-жорсткою. Але цитування цього результату - неопубліковане приватне спілкування [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

Л. Бахіенс, Г. Маніч, Б. Піва, CC de Souza. Максимальна загальна проблема підграграфа: Поліедральне дослідження. Дискретна прикладна математика, яка з'явиться. doi: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
М. М. Гельдорссон, Особисте спілкування, неопублікований рукопис, 1994 рік.
В. Канн. Про приблизність задач оптимізації повної NP. Кандидат наук Дисертація, доповідь НАДА TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— Йота Отачі
джерело

Схоже, це справді рівнозначно моїй проблемі. Дуже дякую! Чи відомо вам про результати зваженої версії Max CES?

— a3nm

Я не маю уявлення про зважену версію. Я думаю, що

має бути

, правда?

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— Йота Отачі

Так, сума є більш природною, якщо ми хочемо узагальнити невагомий випадок, хоча, мабуть, це може мати сенс мінімізувати суму квадратів або будь-яку функцію різниці у вазі.

— a3nm

Дякуємо за редагування Я погоджуюся, природно використовувати суму різниць ваги (або будь-яку функцію на ній) у якості штрафу.

— Йота Отачі