Навчання трикутників у площині

Я призначив своїм учням задачу знайти трикутник, який відповідає збірці точок у , позначений . (Трикутник Т є узгоджується з міченим зразком , якщо Т містить всі позитивні і жоден з негативних моментів, за припущенням, зразок допускає щонайменше , 1 відповідає трикутнику).R 2 ± 1 $m$$\mathbb{R}^2$$\pm1$$T$$T$

Найкраще, що вони могли зробити (або я), це алгоритм, який працює в часі $O(m^6)$ , де $m$ - розмір вибірки. Хтось може зробити краще?

Як підказує @TsuyoshiIto, існує алгоритм -time для цієї проблеми, завдяки Edelsbrunner та Preparata. Насправді їх алгоритм знаходить опуклий багатокутник з мінімально можливою кількістю ребер, що розділяє два набори точок. Вони також доводять нижню межу для більш загальної проблеми в алгебраїчній моделі рішень; однак не ясно, чи стосується ця нижня межа до випадку трикутника.Ω ( n log n $O(n\log n)$$\Omega(n\log n)$

Повний опис алгоритму тут занадто довгий, щоб опублікувати тут, але ось основна ідея. Нехай - опуклий корпус позитивних точок. Для кожного негативною точки , розгляне лінію через , які стосуються . Ці лінії розділяють площину на чотири клини, один з яких містить ; Нехай бути клин протилежної тій , яка містить . Нарешті, нехай ("заборонена область") є об'єднанням усіх клинів . Будь-трикутник поділу необхідно відокремити від . І іq q C C W ( q ) C F W ( q ) C F C F O ( n log n $C$$q$$q$$C$$C$$W(q)$$C$$F$$W(q)$$C$$F$$C$$F$може бути побудований за час.$O(n\log n)$

Позначте краї черзі за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки. Едельсбруннер та Препарата також доводять, що якщо існує розділюючий трикутник, то існує розділюючий трикутник, ребра якого є колінеарними із стрілками за годинниковою стрілкою . Через додатковий час, ми можемо знайти (обов'язково за годинниковою стрілкою) край вперше потрапив променем, від кожного краю годинникової стрілки ; назвіть цей край "наступником" . Наступні вказівники розділяють краї за годинниковою стрілкою на цикли; якщо є розділюючий трикутник, один з цих наступних циклів має довжину 3 (а жоден не має довжини більше 4).F O ( n $F$$F$$O(n)$e $F$$e$$e$

Докладнішу інформацію див. У оригінальному папері:

• Герберт Едельсбруннер та Франко П. Препарата. Мінімальний полігональний поділ . Інформація та обчислення 77 (3): 218–232, 1988.

Мені здається, що достатньо розглядати дотичні лінії від точок '-1' на опуклому корпусі точок '+1' як кандидати для сторін (скажімо, що точки +1 'будуть внутрішніми до ).$T$$T$

Шкода, я не можу тут публікувати зображення. Але уявіть це: - дотична лінія до опуклого корпусу, яка проходить через деяку точку '-1'. - точка дотику. - крайня (див. Нижче) точка на , а - дотична лінія від точки ( - точка дотику).A B t B C B $t$$A$$B$$t$$BC$$B$$C$

Отже, алгоритм такий. Для кожного рядка дотичних ліній ми можемо спробувати побудувати на ньому трикутник:$t$

1. Обчисліть точки перетину з усіма іншими прямими;$t$
2. Знайдіть крайню (найдальшу від ) точку та відповідну пряму вправо (або ліворуч) від , таким чином, що псуедотрикутник (= , і частина опуклого корпусу між і ) не' t не містить «-1» балів (тобто не містить жодних точок).B t ′ A A B C A B B C A $A$$B$$t'$$A$$ABC$$AB$$BC$$A$$C$
3. Зробіть те ж саме з лінією і подивіться, чи можемо ми «закрити» трикутник.$t'$

Схоже, це був би час роботи . Може, це можна покращити за допомогою деяких структур даних?$O(m^2)$