Як зазначали інші, з постановкою вашого питання є певні технічні труднощі. Щоб випрямити їх, почнемо з уникнення використання терміна "недоказувальний" без кваліфікації, і будемо чітко пояснювати, з якого набору аксіом має бути твердження, яке не має доказу. Наприклад, припустимо, що нас цікавлять твердження T, які неможливо довести з ПА, аксіоми арифметики Пеано першого порядку.
Перше роздратування полягає в тому, що «Т - це правда», не виразно в арифметичній мові першого порядку за теоремою Тарського. Ми могли б обійти це, працюючи в метатеорії, яка є достатньо потужною, щоб визначити істинність арифметичного твердження, але я думаю, що для ваших цілей це зайвий складний шлях. Я думаю, що вас цікавить не сама правда, а спрощеність. Тобто, я підозрюю, що ви були б задоволені тим, що визначили T як Godel_0, якщо T є правдивим, але не піддається доказуванню в PA, і визначивши, що T є Godel_1, якщо T є недоступним в PA, але "T є недоступним в PA", є недостовірним в ПА, і визначаючи, що Т є Годель_2, якщо Т є недоказувальним в ПА і "Т є недостовірним в ПА", є недостовірним в ПА, але "Т є недоказовим в ПА", не є доказовим в ПА ", не є доказовим в ПА і т.д. Таким чином, ми не робимо"
Цього достатньо, щоб ваше питання було точним, але, на жаль, існує досить тривіальне рішення. Візьміть T = "PA відповідає". Тоді T вірно, тому що ПА є послідовним, а T не можна довести в ПА за другою теоремою про незавершеність Геделя. Крім того, "Т є недоказувальним у ПА" також є недоказувальним у ПА з дещо нерозумної причини: будь-яке твердження форми "Х є недостовірним у ПА" є недоказувальним у ПА, оскільки "Х є недоказувальним у ПА", тривіально означає ", що ПА послідовний "(оскільки непослідовні системи все доводять ). Отже, T - це Годель_н для всіх росіян, але я не знаю, що це дійсно виникає у вашому наміченому питанні.
Ми можемо спробувати "виправити" ваше запитання, щоб уникнути подібних дрібниць, але натомість дозвольте мені спробувати вирішити те, що, на мою думку, є вашим наміченим питанням. Мовчки, я вважаю, що ви плутаєте логічні сили, необхідні для доведення теореми, з психологічними труднощамидоведення цього. Тобто, ви інтерпретуєте результат форми "Т недоступний в X", як кажучи, що Т якимось чином перевищує нашу здатність розуміти. Там є ці жахливі домисли, і ми караємо людей, які трясуть ПТ-батоги або батоги ZFC або що ти маєш у цих лютих звірів, намагаючись приручити їх. Але я не думаю, що "T не можна доказувати в X" слід тлумачити як значення "T неможливо міркувати". Швидше, це просто вимірювання конкретного технічного властивості щодо T, а саме його логічної сили. Отже, якщо ви намагаєтесь придумати монстра über, я не думаю, що знайти щось, що є не тільки недоказувальним, але чия недоцільність є недоказувальним тощо.
Нарешті, що стосується вашого питання про те, чи здається, що невиправданість взагалі пов’язана з відокремлюваністю класів складності, є певні зв’язки між обчислювальною внутрішньостабільністю та невиправданістю в певних системах обмеженої арифметики. Дещо з цього згадується в статті Ааронсона, яку ви цитуєте; див. також книгу Кука та Нгуєна " Логічні основи складності доказування" .