Яка «найближча» проблема до успішного вирішення гіпотези Колатца?

Мене цікавить "найближча" (і "найскладніша") проблема успішного вирішення гіпотези Колатца (про що Ердос чудово заявив, що "математика ще не дозріла для таких проблем"). Доведено, що клас проблем, що нагадують Колац, не можна визначити. Однак проблеми, подібні до розмитості, такі як гра MIU Hofstadter (вирішена, але, правда, більша частина іграшкової проблеми), дійсно вирішуються або вирішуються.

Пов'язані питання

Collatz Conjecture & Gramatic / Automata

— взн
джерело

Оскільки це HTML, а не LaTeX, простіше, якщо ви вкажете посилання там, де вони доречні.

— Суреш Венкат

TCS / емпіричні кути на collatz / refs

— vzn

Принаймні одна людина, яка стверджує, що "здогадка Колатца" є унікальною відповіддю на ваше запитання. Я скептично ставлюсь до повноти пов'язаних доказів, але ще не витратив достатньо часу на її аналіз.

— Бойд Стівен Сміт-молодший

fyi ось новий документ Мішеля, який чудово досліджує область, що з'єднує невирішеність із загальною теоретичною рамкою чисел, проблеми теорії чисел від конкуренції зайнятих бобрів

— vzn

Відповіді:

Розширений коментар:

Колац-подібні послідовності можуть бути обчислені невеликими машинами Тьюрінга, що мають небагато символів і станів. У « Малих машинах Тьюрінга та узагальненій конкуренції за зайняті бобри » П. Мішеля (2004) є приємна таблиця, в якій розміщені проблеми, подібні Колацу, між вирішальними ТМ (для яких проблема зупинки вирішується) та Універсальними ТМ.

введіть тут опис зображення

Існують ТМ, які обчислюють послідовності, подібні Колатцу, для яких рішення, як і раніше, є відкритою проблемою: , і (де - це набір машини Тьюрінга з станами та символами). Я не знаю, чи були результати підтверджені $TM(5,2)$ $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

З публікації статті:

... Нинішня лінія, що нагадує Колац, вже на найнижчому можливому рівні, за винятком , але ми гадаємо, що всі машини в цьому наборі можуть бути доведені для вирішення ... $TM(4,2)$

Дивіться також " Складність маленьких універсальних машин Тьюрінга: опитування " Д. Вудса та Т. Брейді (2007).

Інший приклад проблеми, подібної Колатцу, для вирішення якої є відкритою проблемою, є система тегів Посту: ; для недавнього аналізу див. " Про межі розчинності та нерозв'язності тегових систем. Теоретичні та експериментальні результати " Л. Де Мол (2009). $\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— Марціо Де Біасі
джерело

щоб доповнити відповідь: Конвей показав, що існують послідовності, подібні Колацу, які не можна визначити ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 . тобто послідовність, яка нагадує коллац, може сама імітувати універсальну машину для твердіння.

— Сашо Ніколов

Дякую! опитування mitchell / результати дуже круті! У поясненні fyi в таблиці, "T" у комірці вказує на наявність TM (k, l), що еквівалентно гіпотезі колаца. перспектива також говорить про те, що гіпотеза колацеса - це не просто ізольована теоретична цікавість, але, можливо, поверхневий феномен дещо глибшого в теорії обчислення. PS також дуже зацікавлений, чи коли-небудь вирішені якісь колись відкриті "колаци, як проблеми" ...?

— vzn

$T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

$T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— Крейг Файнштейн
джерело

Я не думаю, що це задовольняє "найскладнішу" частину запитання, оскільки мотивований учень школи може трохи визначити ключову ідею доказу вашої заяви.

— Йонатан N

Але якщо вона буде більш складною і все-таки вирішена, вона вже не буде нагадувати Конлактуру Колатца. Крім того, назва його питання вказує на те, що він віддає перевагу "найближчим" над "найскладнішим".

— Крейг Файнштейн