Наявність «матриць забарвлення»

Редагувати: тепер існує додаткове запитання, пов’язане з цією публікацією.

---

Визначення

Дозволяє $c$і - цілі числа. Ми використовуємо позначення .$k$$[i] = \{1,2,...,i\}$

матрицею називається бути -До- розмальовки матриці , якщо виконано наступне:$c \times c$$M = (m_{i,j})$$c$$k$

• маємо для всіх ,$m_{i,j} \in [k]$$i, j \in [c]$
• для всіх з та ми маємо .$i,j,\ell \in [c]$$i \ne j$$j \ne \ell$$m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

Пишу , якщо існує -До- забарвленні матриці.$c \leadsto k$$c$$k$

---

Зауважте, що діагональні елементи не мають значення; ми зацікавлені тільки в недіагональних елементах .$M$

Наступна альтернативна перспектива може бути корисною. Нехай - набір недіагональних елементів у рядку , а також нехай - набір недіагональних елементів у стовпці . Тепер - матриця забарвлення -to- iff для всіх . Тобто рядок і стовпець повинні складатися з чітко виражених елементів (за винятком, звичайно, діагоналі).$R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$$\ell$$C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$$\ell$$M$$c$$k$

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ $\ell \in [c]$$\ell$$\ell$

Спроба інтерпретувати як особливий вид хеш-функції від до може бути, а може і не бути корисним .$M$$[c]^2$$[k]$

Приклади

Ось -До- розмальовки матриці:$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

Загалом відомо, що для будь-якого маємоНаприклад, і . Щоб побачити це, ми можемо використовувати таку конструкцію (наприклад, Naor & Stockmeyer 1995).$n \ge 2$

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

Нехай і . Нехай - бієкція від до безлічі всіх підмножин , тобто і для всіх . Для кожного з виберіть довільно$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

Зауважте, що . Неважко переконатися, що конструкція справді є матрицею забарвлення; зокрема, маємо і .$f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Питання

Чи описана вище конструкція оптимальна? Якщо не сказати, чи маємо для будь-якого ?

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

Загальновідомо, що зазначена конструкція є асимптотично герметичною; обов'язково . Це випливає, наприклад, з результатів Лініаля (1992) або від прямого застосування теорії Рамзі. Але мені незрозуміло, чи конструкція теж щільна до констант. Деякі числові експерименти дозволяють припустити, що описана вище конструкція може бути оптимальною.$k = \Omega(\log c)$

Мотивація

Питання пов'язане з існуванням швидко розподілених алгоритмів для розфарбовування графіків. Наприклад, припустимо, що нам задано спрямоване дерево (усі ребра, орієнтовані на кореневий вузол), і припустимо, що нам надано належне -обарвлення дерева. Тепер існує розподілений алгоритм, який обчислює правильне забарвлення дерева в синхронний раунд зв'язку тоді і тільки тоді, коли .$c$$k$$1$$c \leadsto k$

Побудова оптимальна в тому сенсі, що не може утримуватися. Дійсно, легко побачити, що матриця забарвлення c -to- k існує лише тоді, і лише якщо є c підмножини A ₁ ,…, A _c множини {1,…, k }, такі, що жодні чіткі i та j не задовольняють A _i ⊆ A _j . (Для напрямку "тільки якщо" візьміть A _i = R ( M , i ) для матриці забарвлення c -to- k$\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$M . Для напрямку "якщо" задайте m _ij ∈ A _i ∖ A _j .) Сімейство множин, жоден з яких не містить іншого, називається сімейством Спернера , і це теорема Спернера про те, що максимальна кількість множин у сім'ї Спернера на Всесвіт розміром k є . Це означає, що .$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

Для трохи більш жорсткої асимптотики можна було довести, що:

якщо , то$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

Припустимо, існує забарвлення матриці використанням кольорів. Тепер розфарбуйте кожен рядок у матриці відповідно до набору кольорів, які він містить. Це дає забарвлення рядків за допомогою підмножини . Різні ряди повинні мати різні кольори. В іншому випадку припустимо, що для рядок має той самий колір, що і рядок . Це означає, що колір присутній як у рядку і в стовпці що суперечить тому, що ми почали з фарбування. Звідси випливає, що$c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$$j$$c \leq 2^k$