Чи містить P мови, існування яких не залежить від PA чи ZFC? (Вікі спільноти TCS)

Відповідь: невідомо.

Задані питання є природними, відкритими і, мабуть, важкими; питання зараз - вікі спільноти.

Огляд

Питання має на меті розділити мови, що належать до класу складності  - разом із рішеннями машин Тьюрінга (ТМ), які приймають ці мови - на два допоміжні підкласи:$P$

• гностичні мови та ТМ (які можна перевірити / зрозуміти), порівняно
• криптичні мови та ТМ (які неможливо підтвердити / зрозуміти).

Визначення: гностичні проти криптичних чисел, ТМ та мови

У межах аксіоми PA і ZFC ми розрізняємо гностичні від криптичних машин Тьюрінга та мови наступним чином:

D0   Ми говоримо, що обчислюване реальне число   є гностичним, якщо воно пов'язане з не порожнім набором ТМ, при цьому кожна ТМ вказана в ПА як явний список номерів, що містить дійсний код на універсальній ТМ, такий, що для будь-якої точності ϵ > 0, що подається як вхід, кожна ТМ, доказово (у ZFC), зупиняється з вихідним номером o, що доказувально (в ZFC) задовольняє r - ϵ < o < r + ϵ .$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

Зауваження   Відомо, що деякі обчислювані результати не є гностичними (на конкретному прикладі див. Відповідь Рафаеля Рейціга на питання jkff " Чи існують неконструктивні докази існування алгоритму? "). Щоб уникнути боротьби з цими обчислюваними, але незручними числами, накладається обмеження, щоб показники часу виконання обчислювались ТМ, які явно перераховуються в ПА (на відміну від ТМ, неявно вказаних у ZFC). Для подальшого обговорення див розділ Визначні міркування (нижче).

Тепер ми шукаємо визначення, що охоплює інтуїцію, що клас складності включає підмножину криптовалют, до яких жоден (гностичний) показник часу виконання не може бути присвоєний. $P$

Щоб заздалегідь зробити висновок ( D5 ), визначає ідею канонічно-криптованого рішення TM , визначення якого формулюється з метою усунення скорочень, які (тривіально) маскують криптичні обчислення шляхом накладання обчислювально зайвих епі-обчислень. Обґрунтування та джерела цього ключового визначення обговорюються пізніше - під заголовком « Визначні міркування»,  а внесок коментарів Тимофія Чоу, Пітера Шор, Сашо Ніколова та Лука Тревісана вдячно визнаний.

D1   З огляду на машину Тюрінга M, яка зупиняє всі вхідні рядки, M називається загадковою, якщо наступне твердження не є ні доказовим, ні спростовим принаймні для одного гностичного реального числа  :$r \ge 0$

Заява: Час виконання M - щодо довжини вводу ${O}(n^r)$$n$

Ми говоримо, що машини Тьюрінга, які не є кричущими, - це гностичні ТМ.

D2   Ми говоримо, що машина Тьюрінга M є ефективною, якщо вона має гностичний показник виконання  таким чином, що мова L, яку M приймає, не приймається жодною іншою TM, що має показник виконання гностичного показника, менший за  r .$r$$r$

D3   Ми говоримо, що мова L є загадковою, якщо вона прийнята (a)  принаймні однією машиною Тюрінга M, яка є ефективною і криптовалютною, і, крім того, (b)  жодна ТМ, яка є ефективною і гностичною, доказово приймає L.

Щоб висловити D3 іншим способом, мова є загадковою, якщо TM, які найефективніше сприймають цю мову, самі є криптовалютними.

Мови, які не є виразними, ми говоримо, - це гностичні мови.

D4   Ми говоримо, що криптовалютний ТМ є сильно скептичним, якщо мова, яку він приймає, є виразною.

D5   Ми говоримо, що сильно криптовалютний ТМ є канонічно виразним, якщо він ефективний.

Щоб висловити D5 іншим способом, кожна криптовалютна мова приймається набором канонічно криптичних рішень TM, які є найбільш ефективним рішенням TM, які приймають цю мову.

Задані питання

Наступна гіпотеза C0 є природною та (мабуть) відкритою:

C0   Клас складності P містить щонайменше одну криптовалютну мову.

Поставлено три питання, Q1 - Q3 , з яких перше:

Q1   Чи гіпотеза С0 не залежить від ПА чи ЗФК?

За припущенням, що C0 відповідає дійсності - або доказово в ZFC, або як незалежна аксіома, яка доповнює ZFC - два наступні питання є природними:

Q2   Чи може бути принаймні одна криптовалютна мова в Р представлена ​​конкретно, тобто представлена ​​як словник явних слів у кінцевому алфавіті, що включає всі слова до будь-якої заданої довжини? Якщо так, виставіть такий словник.

Q3   Чи може бути принаймні одне канонічно-криптовалютне рішення TM представлене конкретно, тобто як сприятливий опис для побудови фізичної машини Тьюрінга, яка визначає (у поліноміальний час) усі слова словника Q2 ? Якщо так, побудуйте таку машину Тьюрінга і, обчисливши її, покажіть словник криптичних мов Q2 .

Визначні міркування

Визначення D0 означає, що кожне гностичне дійсне число є обчислюваним, але відомо, що деякі обчислювані реальні числа не є гностичними. Приклади див. Відповіді на MathOverflow від Michaël Cadilhac та Ryan Williams та на TCS StackExchange від Raphael Reitzig . Більш загально, визначення D0 – D5 створені для виключення посилань на негестичні показники виконання.

Як обговорювалося у вікі TCS " Чи містить P не зрозумілі мови? ", Визначення D0 – D5 гарантують, що кожна криптовалютна мова приймається принаймні однією TM, яка є канонічно загадочною. (Зауважимо також, що у цьому питанні слово "криптовалюта" замінює менш описове слово "незрозуміле", яке використовується у вікі).

Більше того - з огляду на D3 (a) та D3 (b)  - не існує обчислювально тривіального відновлення канонічно криптовалюти TM до гностичної ТМ, яка доказує розпізнавати ту саму мову. Зокрема, D3 (а) і D3 (б) захаращувати polylimiter стратегії скорочення , які були викладені в коментарі Пітер Шор , а Сашо Ніколовим , і незалежно один від одного Лука Trevisan , і перешкоджає теж полиномиально з тактовою частотою стратегії скорочення Тімоті Chow , все з яких аналогічно маскують криптичні обчислення, накладаючи обчислювально зайві епі-обчислення .

Взагалі, визначення "гностичний" і "криптичний" навмисно налаштовані так, щоб бути надійними щодо математично тривіальних скорочень (і цілком можливо, що подальше налаштування цих визначень може бути бажаним).

Методологічні міркування

У огляді Ланс Фортноу « Стан проблеми П проти НП » досліджуються методи встановлення незалежності (або іншим чином) гіпотез в теорії складності; особливо бажаними є пропозиції щодо того, як методи, про які переглядає Ленс, можуть допомогти (чи ні) відповісти на Q1 .

Зрозуміло, що багато інших питань є природними. Наприклад, концепція Хартманіса-Стіарнса надихає нас запитати "Чи існують криптовалютні багатотапірні машини Тюрінга в реальному часі? Чи існування їх (чи ні) не залежить від ПА чи ЗФК?"

Міркування типу Zeilberger

У тому випадку, якщо Q1 відповідає "так", то оракули, які вирішують членство в $P$ існують поза межами ПА або ЗФК, а отже, важливим елементом сучасної теорії складності є (на сьогоднішній день) невідомо, що вона буде проживати в будь-якій формальній системі логіка.

У цьому відношенні теорія складності відрізняється від більшості математичних дисциплін, таких, що побоювання, які висловлює Дорон Зейльбергер у своїй недавній " Думці 125: Тепер, коли Алану Тьюрінгу виповнилося 100 років, настав час по-новому переглянути його семінарні внески. , що зробило багато хорошого, але також багато шкоди ", мабуть, є обґрунтованим.

Занепокоєння Зейльбергера набувають явної форми як критерій Z0    (! Q1  ) && (! C0  ), який еквівалентний наступному критерію:$\equiv$

Z0:   Критерій чутливості Зейльбергера   Визначення класу складності P   називаються сприйнятливими до Зейльбергера, якщо всі мови в Р є явно гностичними.

В даний час невідомо, чи визначає Стівен Кук про клас складності P   Зейльбергер.

Мотиваційні міркування

Визначення "гностичний" і "криптичний" формуються з метою (зрештою) вирішальних припущень на зразок наступного:

C1   Нехай і N P ′ - гностичні обмеження P і N P, відповідно. Тоді P ' ≠ N P ' або доказовий, або спростований в PA чи ZFC.$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   (як явно доведено в PA чи ZFC)$P' \ne NP'$

Зрозуміло, що C2   C1 , і, навпаки, можливо, що доказ (мета) теореми С1 може дати керівництво до доказу (сильнішої) теореми С2 .$\to$ 

Загальна мотивація - це сподівання / інтуїція / сподівання, що для певного відрегульованого розрізнення між гностичними та криптичними ТМ та мовами, доказ С1 та, можливо, навіть С2 може висвітлити - і навіть мати порівнянні практичні наслідки з - імовірно, набагато важче та глибше доказ того, що $P\ne NP$ .

Юріс Хартманіс був одним з перших теоретиків складності, який серйозно проводив цю лінію дослідження; див., наприклад, монографію Хартманіса Можливі обчислення та властивості доказівної складності (1978).

Номенклатурні міркування

З Оксфордського словника англійської мови (OED) ми маємо:

• гностичний (adj)  Що стосується знань; пізнавальний; інтелектуальний   "Вони [числа] існують у життєвому, гностичному та спекулятивному відношенні, але не оперативно".

• криптовалюта (adj)  Не відразу зрозуміла; загадкова, загадкова:   "Замість простих Правил, корисних для людства, вони [філософи] обтяжують криптика і темні вироки".

Мабуть, жоден математичний огляд раніше не використовував слово "гностик" у будь-якому сенсі. Однак звертає на себе увагу нещодавня стаття Марка Крахта « Гнозис » ( Journal of Philosophical Logic , MR2802332), в якій використовується сенс OED.

Мабуть, жоден математичний огляд не використовував слово "криптика" - у його технічному значенні - стосовно теорії складності. Однак увагу привертає стаття Чарльза Х. Беннетта " Логічна глибина та фізична складність " (у "Універсальній машині Тьюрінга: опитування півстоліття" , 1988), яка містить уривок

Іншим видом складності, пов’язаної з об'єктом, буде складність, з огляду на об'єкт, знайти правдоподібну гіпотезу для його пояснення. Об'єкти, що мають таку складність, можна назвати «криптовалютними» : знайти правдоподібне походження об’єкта - це як розв’язання криптограми.

Міркування щодо природності, відкритості та складності

Природність цих питань ілюструє тезу монографії Юріса Хартманіса " Можливі обчислення та властивості доказівної складності" (1978) про те, що:

"Результати щодо складності алгоритмів змінюються досить докорінно, якщо врахувати лише властивості обчислень, які можна підтвердити формально".

Відкритість і складність цих питань в основному співзвучні з висновком огляду Ленса Фортнова " Стан проблеми P Versus NP " (2009), який:

"Ніхто з нас по-справжньому не розуміє проблеми П проти НП, ми лише почали лущити шари навколо цього все більш складного питання".

Настанови Wiki

Особливо затребуваними є конкретні корективи та доказові стратегії, що стосуються питань Q1 – Q3 та широко висвітлюють гіпотези типу Хартманіса С1-С2 .

Я думаю, що з питанням, яке ви задаєте тут, є основна складна проблема (і що ви задали своє відповідне запитання про незрозумілі мови).

Грубо кажучи, здається, що ви шукаєте мову такою$L$

але ZFC не знає, що L ∈ $L\in P$$L\in P$ .

Щоб зрозуміти труднощі , пов'язані з вашим питанням, я думаю , ви повинні спочатку оцінити , що є принципова різниця між Інтенсіональні і екстенсіональності визначеннями мови . Екстенсіонально, L визначається тим , що слова або не є членами L . Тобто, дві мови L і L ' є екстернаціонально рівними тоді і лише тоді, коли вони містять абсолютно ті самі слова, що і члени. На противагу цьому , інтенсиональная визначення L описує деякі умови для слова , щоб бути в L . Машина Тьюрінга, яка приймає $L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$Або першого порядку формула , що має місце тоді і тільки тоді , коли X ∈ L , можна розглядати в якості інтенсіональні визначення L .$\phi(x)$$x\in L$$L$

Річ у тім, що кожен який є (розширено) в P, допускає опис, який є надзвичайно простим, оскільки P - це так званий "синтаксичний" клас складності. А саме, просто візьміть поліноміально закріплену машину Тьюрінга, яка закінчується рівно за потрібний час. Будь-яка "розумна" система для математики, наприклад PA чи ZFC, зможе довести, що L ∈ P, якщо використовувати цей прямолінійний опис $L$$P$$P$$L\in P$$L$ .

Так що якщо ви хочете , щоб заплутати ZFC, ви будете мати , щоб придумати якийсь - то (інтенсіональні) опис , що «занадто складно» для ZFC визнати як еквівалент нехитрим опису L . Це можливо, але в деякому сенсі це занадто легко бути цікавим. Все, що вам потрібно зробити, - це взяти щось, що ми знаємо, що ZFC не розуміє (наприклад, його власну послідовність) і якось змішати це з визначенням L. Наприклад, ось опис набору цілих чисел:$L$$L$$L$

є рівним і x не кодує доказ того, що ZFC є непослідовним.$x$$x$

Якщо припустити, що ZFC є послідовним, наведена вище формула визначає набір парних цілих чисел, але ZFC цього не знає. Трохи поміркуючи, ми можемо легко отримати опис безлічі парних цілих чисел, які ZFC не зможе довести в $P$ .

Підсумок полягає в тому, що якщо ви сподіваєтесь, що причиною важко довести, що є те, що в мові P є занадто складні для нас міркування, то я думаю, що ви гавкаєте не так дерево. З урахуванням тривожних причин кожна мова в Р є в P. Ви можете каламутити води, розігруючись з неможливо непрозорими описами мов на P , але це загальна хитрість, яка не має нічого спільного з P, зокрема, я не думаю, що це дає багато розуміння.$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1: $\:$Ні
Q2:$\:$ Так, принаймні два-1-у-бінарні

Лема: $\:$ Кожна ТМ з обчислюваним показником часу виконання, принаймні 1, є трансцендентною.

Доведення:
Нехай A і B є рекурсивно невіддільними множинами .$\:$$M_0$$\:$$M_1$$\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ тоді твердження D1 вірно] і [якщо $\:m\in B\:$ тоді твердження D1 помилкове]. $\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$Тому машина Тюрінга є трансцендентною.


Визначення:
принаймні два-1-в-бінарне - це набір невід’ємних цілих чисел, бінарне
подання яких має принаймні дві 1s.$\:$ (Ставка, що ти ніколи не здогадався б ^ _ ^)

Визначення:
M - машина Тьюрінга, яка сканує двійкове представлення
свого вводу, приймає, якщо він знайде щонайменше два 1s, і відкидає інше.

Очевидно, M вирішує щонайменше два-1-в-бінарне і має показник часу виконання 1, і жодна інша машина Тьюрінга з меншим показником часу виконання також не приймає рішення як мінімум-два-1-у-бінарні.
Тривіально,$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$За лемою М є ефективним і трансцендентним.
Вони означають, щонайменше, два-1-у-бінарні також трансцендентні.

Тому TPCCC є теоремою ПА (і ZFC), і
принаймні два-1-в-бінарне є конкретною трансцендентальною мовою.

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$. Clearly, we can build a Turing machine which, given $n$, will compute $x_n$. Also the $x_n$ converge to $x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$.

So $x$ is a gnostic real, which is equal to 2 if and only if $\bf{ZF}$ is consistent.

Definition 2: For any gnostic real $x > 1$, let $M'_x$ be a Turing machine which takes an index $n$ of a Turing machine $N$ and an input $s$, simulates $N$ on $s$ for $|s|^x/\log(|s|)$ steps (this function is time-constructible, because $x$ is gnostic), and inverts the result. By the Recursion Theorem, we may choose $M_x$ to be $M'_x$ with a fixed index of $M_x$ as its first input. Then a standard argument (the Time Hierarchy Theorem) shows that $M_x$ has runtime $\mathcal O(|s|^y)$ precisely when $y\ge x$, and that $M_x$ is efficient for its language.

Therefore, for $x$ as in Definition 1, $M_x$ will run in time $\mathcal O(|s|^2)$ precisely if $x = 2$, ie if $\bf{ZF}$ is consistent; moreover this fact will itself be provable in $\bf ZF$. So [if $\bf ZF$ is consistent], $M_x$ is a [strongly and canonically] cryptic machine, and this fact will be provable in $\bf ZF + Con(\bf ZF)$.

However, $\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$ proves that all languages in $\bf P$ are gnostic, since it proves that $\bf ZF$ proves that every language has runtime $\mathcal O(|s|^z)$ for every $z$. So it is undecidable in $\bf ZF$ whether any cryptic language exists.

To answer your second and third questions, the definition I gave above for $M_x$ is quite concrete; I don't think a full Turing machine description would be very illuminating. I suppose I could give a pseudo-code description of the program, though.