Створення графіків діапазону

Нехай . Мені потрібно генерувати прості графіки G діапазону g такі, що множина всіх g -циклів утворює подвійну крайку кришку G (тобто кожне ребро поділяється рівно на два g -цикли), і таке, що перетин будь-яких двох g -цикли - це вершина, край або порожній. Сформовані графіки повинні бути довільно великими.$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

Метод покоління повинен мати певну випадковість із цим, але не в тривіальному сенсі. Я хочу отримати досить складні графіки. Наприклад, уявіть прямокутну сітку у площині. Якщо визначити протилежні сторони обмежувального прямокутника, отримаємо графік, який задовольняє всім вищевказаним вимогам для g = 4 . Я б класифікував цей графік як простий.$n\times m$$g=4$

Чи є такий метод?

Будь-які посилання на подібні проблеми також оцінені.

Моя напівзапечена ідея була трохи надто амбітна. Я включаю його нижче для довідки, але вказана мною умова відстані насправді недостатня, щоб гарантувати велику обхват.

Існують довільно великі симетричні карти поверхні з великим обхватом, але опубліковані докази існування значною мірою базуються на теорії груп, а не на топології чи геометрії.

В Зокрема, для будь-яких цілих , д і г такі , що 1 / г + 1 / д < 1 / 2 , є регулярна поверхню карта , в якій кожна грань має г ребер, кожна вершина має ступінь д , і кожен нестягіваемая цикл на поверхні перетинає щонайменше r краї. Тут "регулярний" означає і те, що кожна вершина має однаковий ступінь, і що для будь-якої пари спрямованих ребер існує автоматизм вбудовування, який посилає спрямований край на інший. Постановка $g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$досить велика в цій конструкції гарантія того, що обхват графіка становить . Див., Наприклад:$g$

• Роман Неделя та Мартін Сковієра. Регулярні карти на поверхнях з великою площинною шириною. Європейська Дж. Комбінаторика 22 (2): 243--262, 2001.

• Юзеф Шіраň. Представлення трикутної групи та побудови регулярних карт. Зб. London Math. Соц. 82 (3): 513-532, 2001.

Коли у вас є одна така карта поверхні, великі карти з однаковим обхватом і ступенем можуть бути створені шляхом побудови покривних просторів.

Ось один (напівфабрикат) спосіб генерування таких графіків. Нехай - плоский графік із такими властивостями:$G$

• Кожне обмежене обличчя має рівно g краї.$G$$g$

• Зовнішня грань має парну кількість ребер; називати їх граничні ребра з G . (Ця умова виконується автоматично, коли g парне; якщо g непарне, G має мати парну кількість обмежених граней.)$G$$G$$g$$g$$G$

• Можна пару граничних ребер , так що відстань в G від будь-якого прикордонного краю до свого партнера по крайней мере , г . Ця умова насправді недостатня; точний стан, необхідний тут, незрозумілий.$G$$G$$g$

Довільно великі графіки площин із цими властивостями можна побудувати, взявши достатньо велику кінцеву частину правильної плитки гіперболічної площини за допомогою -гонів$g$ .

Нарешті, щоб отримати графік поверхні де кожна грань має довжину g , виділіть пари граничних ребер у G відповідно до описаного вище спарювання. Обмежені грані G стають гранею стільникового вбудовування G ' на деяку закриту поверхню без меж. Умова відстані на пару гарантує, що обхват G ′ дорівнює  g .$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

Вибираючи як більш ретельно і справно, коли можна побудувати скільки завгодно великий й - регулярні графи , що задовольняють ваш стан розпірки, для будь-яких цілих d і г такі , що 1 / d + 1 / г < 1 / 2 . Навіть у цих обмеженнях будівництво має багато ступенів свободи.$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$