Розмежування

Дано квантовий стан вибраний рівномірно випадково з набору N змішаних станів ρ 1 . . . ρ N , яка максимальна середня ймовірність правильної ідентифікації A ?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Цю задачу можна перетворити на проблему розрізнення двох станів, розглядаючи проблему відрізнення від ρ B = $\rho_A$.$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Я знаю, що для двох квантових станів проблема має гарне рішення з точки зору відстані відстеження між станами, коли ви мінімізуєте максимальну ймовірність помилки, а не мінімізацію середньої ймовірності помилки, і я сподівався, що може щось подібне ця справа. Звичайно, можна записати ймовірність з точки зору оптимізації для POVM, але я сподіваюся на те, де оптимізація вже була здійснена.

Я знаю, що існує велика література про відмінність квантових станів, і я читав багато робіт протягом останніх кількох днів, намагаючись знайти відповідь на це питання, але у мене виникають проблеми з пошуком відповіді на це особлива варіація проблеми. Я сподіваюся, що хтось, хто знає, що література краще, може заощадити мені час.

Власне кажучи, мені не потрібна точна ймовірність. Однак різниця між будь-яким одним станом і максимально змішаним станом є досить невеликою, тому зв'язане повинно бути корисним у цій межі.

Як ви згадуєте, можна визначити оптимальну середню ймовірність успіху чисельно, що може бути ефективно виконано за допомогою напівдефінітного програмування (див., Наприклад, цей документ Ельдара, Мегрецького та Вергеза або ці лекційні записки Джона Уотруса), але жодне вираження закритої форми не є відомий.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$