Спрощена версія карткової гри Winner

Я задав цю проблему в MathOverflow , не маючи жодної задовільної відповіді.

Розглянемо наступну гру для двох гравців, яка є спрощенням карткової гри під назвою Winner . (Наступна рецептура була взята з коментаря Гійома Брунері на MathOverflow.)

Є два гравці A і B. Кожен гравець має набір карт (підмножина ), видно у обох гравців. Мета гри - позбутися власних карт. Перший гравець розігрує будь-яку карту на столі, потім інший гравець повинен грати (строго) більшу карту тощо, поки один з гравців не зможе грати або не вирішить пройти. Потім карти на столі відкидаються, а інший гравець починає знову, граючи в будь-яку карту (за якою слідує більша карта). І так далі, поки один з двох гравців не закінчить карти і не виграє гру. $\{1,\dots,n\}$

Я хочу знати найкращу стратегію для гравців (якщо він може перемогти).

Формальне визначення

Позначимо через конфігурацію гри, де набір карт першого гравця - , набір карт другого гравця - , а найбільша карта на столі - , де означає, що на столі немає картки. Я хотів би алгоритм обчислення, враховуючи , чи має перший гравець стратегію виграшу в конфігурації . $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

Формально я хотів би алгоритм обчислення функції визначений наступним чином: $f$

Нехай , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

Функція $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

де

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

Неправильні стратегії

Ось кілька неправильних стратегій:

Завжди грайте в найменшу карту. Нехай , стратегія виграшу гравця A в конфігурації - грати в карту . Якщо гравець A грає на карту 1, він програє. $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
Грайте у найменшу карту, якщо інший гравець не має лише однієї карти. Це сильніша стратегія, ніж стратегія 1, але вона також неправильна. Подумайте лише про конфігурацію . Якщо гравець A використовує стратегію 2, він програє: , таким чином гравець програє. $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
джерело

Це питання цікаве, але будь ласка, постарайтеся зробити його максимально читабельним. Наприклад, вам не доведеться копіювати коментар Гійома Брунері дослівно, включаючи частину "Я думаю, що це повинен бути відомий гравцеві ...", що відрізняється від припущення у вашому запитанні і може лише бентежити читачів. Також, будь ласка, розгляньте питання про вилучення першого з трьох: друге формулювання дає інтуїтивне розуміння, третє дає формальне визначення, і я не думаю, що перший служить якійсь цілі.

— Цуйосі Іто

Можливо, найкращий спосіб проаналізувати це - написати програму, яка визначає оптимальні кроки для будь-якої позиції та шукає шаблони. Немає апріорної причини, що ця гра повинна мати хорошу стратегію.

— Пітер Шор

Я б почав розробляти стратегію з невеликою кількістю карток і працювати звідти. Наприклад, якщо у кожного гравця є 2 картки, то той, хто має найвищі виграші, незалежно від того, який гравець має наступний хід. Він грає в найвищу карту, інший гравець повинен пройти, потім він грає свою останню карту.

— Джо

Чи може хтось допомогти мені переписати дескрипцію ГБ, щоб слідкувати за постскриптом 1? Мені шкода, що я не носій мови, і описувати таку складну гру не в силах.

— Yai0Phah

@Tsuyoshi: Якщо гравець A завжди грає найменшу карту, гравець B виграє. Якщо гравець A грає у карту 1, а не завжди грає найменшу карту, гравець A може виграти. Це означає, що для стратегії 2 завжди виграє менший контрприклад, який завжди виграє.

— Пітер Шор

Це, мабуть, має бути коментарем, але це занадто довго.

Пов’язану гру вивчали Джефф Кан, Джефф Лагаріас та Ганс Вітценхаузен, у серії статей Одномісний двоякий грати у картки І, ІІ, ІІІ та Картова гра Ласкара. У грі, яку вони вивчали, кожен гравець має карт, розданих з карт під номером . Кожен трюк складається з двох карт, вища карта виграє трюк, а переможець веде. Завдання полягає в тому, щоб зробити найбільш хитрощів. $n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

Вони довели ряд цікавих фактів щодо оптимальної стратегії, але не змогли знайти ефективний алгоритм оптимальної гри, а також не змогли довести, що це було важко.

Для мізерної гри, де кожна людина намагається зробити найменшу кількість хитрощів, вони змогли дати оптимальну стратегію.

Здебільшого ці результати були отримані, спочатку ознайомившись з результатами комп’ютерної програми, яка знайшла оптимальну стратегію для невеликих примірників, потім шукала шаблони для отримання домислів і, нарешті, доводила ці здогадки. Я підозрюю, що це також буде плідним підходом до гри ОП.

— Петро Шор
джерело