Питання про лінійні розширення часткових порядків

Якщо вам надано колекцію часткових замовлень, топологічне сортування підкаже, чи є розширення колекції до загального порядку (розширення в цьому випадку - це загальне замовлення, що відповідає кожному з часткових замовлень).

Я зіткнувся з варіацією:

Зафіксуємо безліч . Вам надаються послідовності елементів, витягнутих з без повторення (послідовності мають довжину від 1 до ). $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

Чи існує спосіб виправити орієнтації для кожної з послідовностей (вперед або назад), щоб отримана колекція ланцюгів (розглядається як частковий порядок) допускає розширення?

Чи відома ця проблема?

Примітка: орієнтація вибирається для всієї послідовності. Отже, якщо послідовність становить , ви можете або зберегти її таким чином, або перевернути її на , але більше нічого не можете зробити. $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— Суреш Венкат
джерело

2

$2$

Е, кожен непрямий графік може бути орієнтований на DAG. Просто виберіть впорядкування вершин і використовуйте це впорядкування для орієнтації ребер.

— Девід Еппштейн

Ви праві, звичайно, я не думаю прямо.

— Чандра Чекурі

На мій варіант, кожна послідовність має довжину рівно 4, тому відповідь Юрія стартує. Моя єдина надія на цей момент - це те, що піддані мають дуже особливу структуру і пов'язані між собою, тож, можливо, щось конкретне допоможе. Але загального молотка немає.

— Суреш Венкат

$u$ $v$ $w$

Найвідоміший алгоритм наближення проблеми, виконаний Чором та Суданом, задовольняє 1/2 усіх обмежень, якщо екземпляр цілком задоволений.

[1] Ж. Опантрі. Загальна проблема замовлення, журнал SIAM з обчислень , 8 (1): 111—114, лютий 1979.

[2] Б. Чор і М. Судан. Геометричний підхід до міжзв'язку , журнал SIAM з дискретної математики, 11 (4): 511-523, листопад 1998.

Редагує: уточнив, що версія проблеми вирішення проблеми є важкою.

— Юрій
джерело

Юрій, чи це означає, що проблема вирішення того, чи можуть бути задоволені всі обмеження, також є важкою?

— Чандра Чекурі

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$