Розуміння конструкції механізму підтвердження

У цій роботі я боровся з технічними деталями доказу теорії аукціону: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Зокрема, теорема 2.5: Необхідні та достатні умови для правдивого механізму.

Навіть конкретніше, прямий напрямок доказу, наведений на сторінці 6. Визначаючи правдиве значення як та загальне, можливо, помилкове значення (наприклад, пропозиція) як , автор продовжує постулювати дві додаткові величини, та . $v_i$ $b_i$ $z_1$ $z_2$

Потім він що , , що дає нерівність, грунтуючись на попередній роботі статті. $v_i = z_1$ $b_i = z_2$

Він також передбачає, що , , що дає аналогічну, але різну нерівність, грунтуючись на попередній роботі статті. $v_i = z_2$ $b_i = z_1$

Гаразд, досить справедливо. Потім він віднімає одну нерівність від іншої і переходить до отримання бажаного результату на основі алгебри, що випливає з неї. Я не розумію, чому це віднімання виправдане - він, здається, віднімає дві нерівності, які ґрунтуються на зовсім різних (насправді, протилежних) припущеннях, і кожного разу, коли я це бачу, мене насильно викидають з ходу думки.

Я майже впевнений, що бачив цей базовий підхід ще (книга Шохама та Лейтона-Брауна? У мене його немає під рукою, щоб перевірити), тому це здається загальною ідеєю, але я не можу його оминути. Хтось може допомогти мені зрозуміти, чому це дійсно, чи пояснити мені, чого я пропускаю?

(Я намагався довести бажаний результат, припускаючи три values-- істинного значення , і дві ставок, і - отримати його бажаний результат, але також не так це може бути не тільки загальним, але. Необхідно , щоб зроби це так, як автор. Але я все ще не розумію цього.) $v_i$ $b_1$ $b_2$

Оновлення: Я знав, що бачив щось подібне у книзі Шохама та Лейтона-Брауна . Це не зовсім те саме, але він дуже схожий і має справу з тим самим рівнянням і предметом. Це випадок 1 теореми 10.4.3.

Починаючи з контексту правдивих механізмів, вони спочатку припускають правдивий та хибний і отримують, що плата, заснована на , менша або дорівнює платежу на основі , наприклад, . Потім вони припускають зворотне, правдиве і хибне , і отримують протилежний результат, що платіж, заснований на , менший, ніж плата на основі , наприклад, . Гаразд, це має сенс. $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Потім вони вважають, що платежі на основі та повинні бути рівними, як ніби вони говорять про те, що та одночасно істинні, навіть хоча вони є результатом не просто різних, а протилежних припущень. $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

gt.game-theory

— Новак
джерело

Відповіді:

Відповідь полягає в тому, що механізм повинен бути правдивим для кожного набору можливих типів: механізм не знає, які є справжні типи достроково. Отже, для пари типів та механізм повинен бути правдивим, якщо справжній тип агента : тобто його корисність повинна бути більшою, якщо він пропонує ставки ніж якщо він пропонує ставки . Але механізм також повинен бути правдивим, якщо справжній тип агента ! Адже, що стосується механізму, це може бути! Отже, у цьому випадку корисність агента повинна бути більшою, якщо він пропонує ставки порівняно з . $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i$

Справа в тому, що правдивість одночасно накладає багато різних нерівностей на один і той же механізм: по одному для кожного типу агента, і для кожного відхилення, яке він може врахувати. Усі вони тримаються. Цей доказ використовує лише дві з цих нерівностей

— Аарон Рот
джерело

Я думаю, я нарешті починаю це розуміти. Насправді, усвідомлення того, що доказ правильний (і чому), ще більше вражає мене наскільки суворим і потужним є поняття "правдивості" насправді. Дякую.

— Новак

Я думаю, що ви хочете, це наступна пропозиція.

Пропозиція. Нехай і - множини. Нехай і . Припустимо, що для всіх маємо Тоді для всіх маємо $V$ $A$ $f:V^n\to A$ $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$ $i,x_i,y_i,v_{−i}$

x_{i} (f (x_{i}, v_{- i})) - p_{i} (x_{i}, v_{- i}) \geq x_{i} (f (y_{i}, v_{- i})) - p_{i} (y_{i}, v_{- i}) .

$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$

i, v_{i}, v_{i}^{'}, v_{- i}

$i,v_i,v'_i,v_{-i}$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) .

$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$

Доказ. Поклавши і маємо Поклавши і маємо Результат випливає шляхом додавання цих нерівностей та перестановки. $x_i=v_i$ $y_i=v'_i$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) \geq v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) .

$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$

x_{i} = v_{i}

$x_i=v_i$

y_{i} = v_{i}^{'}

$y_i=v'_i$

v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) .

$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$

Інтерпретація конструкції механізму цієї пропозиції полягає в тому, що кожен сумісний стимул (тобто доказ стратегії, тобто правдивий) має "слабку монотонність".

З певних причин це звичайно сперечатися, посилаючись на справжні пропозиції та брехню. У цьому контексті "істина" та "брехня" - це лише назви змінних, наприклад "х" та "у". Добре використовувати одне й те саме ім'я для позначення різних речей в окремих аргументах, оскільки формальної різниці між справжньою пропозицією та брехнею немає.

— Колін МакКіллан
джерело

Це судження, про яке йде мова. (Хоча я думаю, що у вас є помилка друку в третьому рядку вашого доказування - завдання v_i слід замінити з першого рядка.) Я все ще не знаю, чому допустимо додати дві нерівності, коли вони є результатом різних припущень. Так, формальної різниці між справжньою та помилковою пропозицією немає; вони обидва числа. Але вони (або якщо бути точнішими, то вони можуть бути) різної кількості.

— Новак

@ Новак: Як щодо цього: якщо я скажу вам, що для всіх , чи приймете ви, що для всіх ?

g (a, b) = 1

$g(a,b)=1$

a, b

$a,b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y)-g(y,x)=0$

x, y

$x,y$

— Колін МакКійлан

Так. Але дозвольте мені трохи розчулити це в контексті проектування механізму. (І в той же час оновіть свою первісну посаду в Mathjax, і додайте аналогічний випадок, який я викопав із Шохама та Лейтона-Брауна.)

— Новак

Що мене тут турбує - це у вашій постановці пропозиції. Коли я бачу це твердження про те, що судження є істинним, вже в контексті того, що - це справжнє значення, а - (можливо) помилкова пропозиція. Я також ставлю під сумнів ідею, що "істина" і "брехня" є змінними іменами; швидше, правда та брехня здаються актуальними якостями повідомлених цінностей, сенс гри полягає в тому, щоб скористатися цією різницею, щоб стимулювати повідомлення про справжню якість.

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

— Новак

Більш конкретно, якщо ви скажете мені, що для всіх правдивих , для всіх (що трохи ближче до вихідного контексту), то я можу прийняти, що якщо я знаю, що і і є правдивими.

g (a, b) = 1

$g(a,b) = 1$

a

$a$

b

$b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y) - g(y,x) = 0$

x

$x$

y

$y$

— Новак