Чи передбачає нульовий розрив цілісності нульовий розрив подвійності для певних проблем?

Ми знаємо, що якщо розрив між значеннями цілої програми та її двоїстою ("розрив подвійності") дорівнює нулю, то лінійні релаксації програмування цілочисельної програми та подвійні релаксації обидва допускають цілісні рішення (нульова "цілісність розрив »). Хочеться знати, чи має місце зворот, хоча б у деяких випадках.

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$$A$$0-1$$P'$$P$$P'$

Буду вдячний за будь-які зустрічні приклади чи покажчики.

Ось приклад, який може бути близьким до контрприкладу заявки.

Розглянемо LP та його подвійний для матриціP ′ = min { 1 T y + 1 T z | A T y + z ≥ 1 , y ≥ 0 , z ≥ 0 } 12 × $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$$P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$$12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Оптимальний розв’язок задається y 1 = y 2 = y 12 = 1 (всі інші змінні дорівнюють нулю) зі значенням цільової функції 3 . Оптимальний розв’язок P задається вектором x = x = [ 1 0 0 1 0 0 $P'$$y_1=y_2=y_{12}=1$$3$$P$ . Якщо ви розв'язуєте P як цілу програму, оптимальне значення цільової функції становить лише 2 , а є оптимальним рішенням.$x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$$P$$2$$x = [1~0~0~1~0~0]$

У підсумку, LP має в цілісне рішення оптимально, але його поєднане, не має цілісне рішення оптимальне. Первісно-подвійні ролі відмінені від тієї постановки, якої хотів Анкур. Але з огляду на характер подвійності ЛП, цей приклад все-таки можна вважати контрприкладом до загальної заяви первинної претензії.$P'$$P$