Я припускаю, що під розширенням ви маєте на увазі закон
Якщо це саме ви маєте на увазі, то модель графіка не є екстенсіональною, тоді як Дани Скотт (я припускаю, що - модель Дати Скотта - числення).P ω D ∞ D ∞ β ξ η λ
( ∀ x . Fx = gх )⟹f= g.
ПωD∞D∞βξηλ
Для цього згадайте, що - це алгебраїчна решітка із властивістю, що її простір безперервних карт - це правильне відведення , тобто існують безперервні карти
та
так, що але . З огляду на , додаток інтерпретується як . Тепер візьміть[ Р ш → Р ш ] P зі | Л : Р ш → [ Р ш → Р ш ] Г : [ Р ш → Р ш ] → Р ш Л ∘ Г = я д Г ∘ Л ≠ я d U , V ∈ P ω u v Λ ( u ) ( vПω[ Сω → Pω ]Пω
Λ : Pω → [ Pω → Pω ]
Γ : [ Сω → Pω ] → Pω
Λ ∘ Γ = i dΓ ∘ Λ ≠ i du , v ∈ Pωu vu u ′ u ≠ u ′ Λ ( u ) = Λ ( v ) Γ ∘ Λ ≠ i d v u v = u v ′ u ≠ u ′Λ ( u ) ( v )уі такий, що але (вони існують тому, що ). Тоді для всіх маємо все ж . Напруженість порушується.
у'u ≠ u'Λ(u)=Λ(v)Γ∘Λ≠idvuv=uv′u ≠ u'
На відміну від є ізоморфним для , тобто існують безперервні карти
і
які є оберненими один до одного. Тому розглянемо будь-яке і припустимо, що для всіх . Це означає, що для всіх , отже, і так . Встановлено розтяжність.D ∞ Λ : D ∞ → [ D ∞ → D ∞ ] Γ : [ D ∞ → D ∞ ] → D ∞ u , u ′ ∈ D ∞ u v = u ′ v v ∈ D ∞ Λ ( u ) ( v ) = Λ ( u[ Д∞→ D∞]D∞
Λ : D∞→ [ Д∞→ D∞]
Γ : [ Д∞→ D∞] → D∞
у , у'∈ D∞u v = u'vv ∈ D∞v ∈ D ∞ Λ ( u ) = Λ ( u ′ ) u = Γ ( Λ ( u ) ) = Γ ( Λ ( u ′ ) ) = u ′Λ ( u ) ( v ) = Λ ( u') ( v )v ∈ D∞Λ ( u ) = Λ ( u')u = Γ ( Λ ( u ) ) = Γ ( Λ ( u)') ) = і'
Ми бачимо, що розширеність є наслідком . Для чого корисне інше рівняння ? Для цього нам слід пам'ятати, як інтерпретується -abstraction:
Словами, може бути інтерпретований вираз зі змінною як карта, яка приймає до . Тоді -abstraction інтерпретується як -образ цієї функції. Тепер із отримуємо
Л ∘ Г = я д А , А , Х . у ( х ) = Γ ( v ↦ U ( v ) ) у ( Х ) Х v у ( V ) А , А , Х . у ( Х ) Г Л ∘ Г = я д ( λ х . у (Γ ∘ Λ = i dΛ ∘ Γ = i dλ
λ X. u ( X) = Γ ( v ↦ u ( v ) )
u ( X)Хvu ( v )λλ X. u ( X)ΓΛ ∘ Γ = i d( λ X. u ( X) ) w = Λ ( Γ ( v ↦ u ( v ) ) ) ( w ) = ( v ↦ u ( v ) ) ( w ) = u ( w )
що є просто зменшення.
β