Розширення моделей обчислення лямбда

Я перекладаю книгу на LISP і, природно, вона торкається деяких елементів -calculus. Отже, поняття розширеності згадується там поряд з деякими моделями -calculus, а саме: і (так, з нескінченністю вгорі). І кажуть, що є екстенсіональним, тоді як - ні. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Але ... я переглянув обчислення Ламбди Барендрегта , це синтаксис і семантика , і (сподіваюся, правильно) прочитав там прямо навпаки: не є екстенсіональним, є. $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Хтось знає про ту дивну модель ? Чи може це бути та сама модель, що і , але помилково написана? Я правий щодо розширеності моделей? $D^\infty$ $D_\infty$

Дякую.

— Кріс
джерело

Ви не хотіли б дати контекст для книги LISP? Чи є в ньому посилання на результати чи моделі, на які вони посилаються?

— коді

Так, це LISP Крістіана Квіненка в невеликих шматочках , с. 153. Уривок із згадкою: [...] З тих пір властивості були розширені декількома різними способами, даючи кілька різних моделей: або в [Sco76, Sto77]. [...] Як не дивно, є розширенням, оскільки дві функції, які обчислюють одну й ту саму річ у кожній точці, рівні, тоді як не є розширенням. [...] Sco76 означає типи даних Дани Скоттс як Решітки . Sto77 означає « Денотаційну семантику Джозефа Стоїса» : підхід Скотта-Стейчі до теорії мови програмування .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Кріс

Дякую! У цьому випадку, ймовірно, був помилковий помилок, що означає і що не є екстенсіональним.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— Коді

Я припускаю, що під розширенням ви маєте на увазі закон Якщо це саме ви маєте на увазі, то модель графіка не є екстенсіональною, тоді як Дани Скотт (я припускаю, що - модель Дати Скотта - числення).

(\forall х . f х = г х) ⟹ f = г .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Для цього згадайте, що - це алгебраїчна решітка із властивістю, що її простір безперервних карт - це правильне відведення , тобто існують безперервні карти та так, що але . З огляду на , додаток інтерпретується як . Тепер візьміть $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : П ω \to [П ω \to П ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [П ω \to П ω] \to П ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$ і такий, що але (вони існують тому, що ). Тоді для всіх маємо все ж . Напруженість порушується.

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

На відміну від є ізоморфним для , тобто існують безперервні карти і які є оберненими один до одного. Тому розглянемо будь-яке і припустимо, що для всіх . Це означає, що для всіх , отже, і так . Встановлено розтяжність. $[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

Ми бачимо, що розширеність є наслідком . Для чого корисне інше рівняння ? Для цього нам слід пам'ятати, як інтерпретується -abstraction: Словами, може бути інтерпретований вираз зі змінною як карта, яка приймає до . Тоді -abstraction інтерпретується як -образ цієї функції. Тепер із отримуємо $\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ Х . у (Х) = Γ (v \mapsto у (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ Х . у (Х)) ш = Λ (Γ (v \mapsto у (v))) (ш) = (v \mapsto у (v)) (ш) = у (ш)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$ що є просто зменшення.

β

$\beta$

— Андрій Бауер
джерело

Щиро дякую. Тож я буду припускати, що в книзі є фактична помилка. Це можливо, тому що сама книга є перекладом з французької мови, і в цьому абзаці оригіналу книги може бути подвійне заперечення шенагіганів чи щось подібне. На жаль, у мене немає французької, щоб хоча б спробувати перевірити.

— Кріс

Французька мова не має значення, у вас є доказ перед очима.

— Андрій Бауер

До речі, LIPS - це не розширення -calculus, воно просто натхнене ним. Схему можна вважати розширенням, хоча, звичайно, розширення схеми виходить з ладу через наявність обчислювальних ефектів.

λ

$\lambda$

— Андрій Бауер