Зафіксуйте . Для будь-якого досить великого ми хочемо позначити всі підмножини розміру точно додатними цілими числами від . Ми хотіли б, щоб ця маркування відповідала такій властивості: є безліч цілих чисел, st{ 1 .. n } n / k { 1 ... T }
- Якщо підмножин розміру не перетинаються (тобто об'єднання цих множин утворюють все безліч ), то сума їх міток в .n / k { 1 .. n } S
- В іншому випадку, сума їх мітки не в .
Чи існує та маркування, st ?T ⋅ | S | = O ( 1,99 п )
Наприклад, для будь-якого ми можемо позначити підмножини наступним чином. , кожен підмножина має біт у своїй кількості: перший біт дорівнює 1, якщо підмножина містить 1 , другий біт дорівнює 1, якщо підмножина містить 2 і т. Д. Це легко зрозуміти, що S містить лише один елемент 2 ^ n-1 . Але тут T \ cdot | S | = \ Theta (2 ^ n) . Чи можемо ми зробити це краще?T = 2 n n 11 2 S 2 n - 1 T ⋅ | S | = Θ ( 2 п )