Чи є докази існування неконструктивного алгоритму?

Я пам’ятаю, що, можливо, я стикався з посиланнями на проблеми, які було доведено вирішити з певною складністю, але не маючи відомого алгоритму, який би реально досягнув цієї складності.

Я намагаюся обернутись своєю думкою, як це може бути; як виглядатиме неконструктивний доказ існування алгоритму.

Чи існують насправді такі проблеми? Чи мають вони багато практичного значення?

Розглянемо функцію (взята звідси )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Незважаючи на зовнішній вигляд, обчислюється наступним аргументом. Або$f$

1. зустрічається для кожного n або$0^n$$n$
2. є так , що 0 до має місце , але 0 до + 1 немає.$k$$0^k$$0^{k+1}$

Ми не знаємо, що це (ще), але знаємо, що з$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. і$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Оскільки ,$F \subset \mathsf{RE}$ обчислюється - але ми не можемо сказати, що таке f .$f$$f$

Це може бути не зовсім те , що ви маєте на увазі, але оптимальний алгоритм мінімуму дерева Сет Петті та Віджая Рамачандран в деякому сенсі неконструктивний.

Відкритим є питання, чи існує детермінований алгоритм для обчислення мінімальних розміщених дерев за лінійний (означає ) час. Петті і Рамачандран описують алгоритм, який обчислює MST в лінійний час, якщо такий алгоритм існує .$O(n+m)$

Інтуїтивно зрозумілий, їх алгоритм зводить будь-який -вершений екземпляр проблеми MST до O ( n / k ) менших екземплярів з вершинами O ( k ) в лінійний час, де (скажімо) k = O ( журнал журналу журналу журналу журналу журналу журналу n ) . Потім вони обчислюють оптимальне дерево порівняння, яке обчислює дерево мінімального прольоту будь-якого k -поверхня графіка шляхом перерахування грубої сили; навіть якщо це займає чітке експоненціальне час у $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ , це лише час. Нарешті, вони вирішують невеликі екземпляри, використовуючи це оптимальне дерево рішень.$O(\log\log n)$

Іншими словами, Петті та Рамачандран будують оптимальний алгоритм MST лише опосередковано, будуючи алгоритм, який будує оптимальний алгоритм MST.

Ось два приклади.

1. Деякі алгоритми, що використовують теорему Робертсона-Сеймура . Теорема стверджує, що там існує кінцева перешкода для кожного випадку, але не дає способу знайти таку кінцеву множину. Тому, хоча ми можемо довести, що алгоритм існує, явне твердження алгоритму буде залежати від набору кінцевих перешкод, які ми не знаємо, як знайти. Іншими словами, ми знаємо, що існує алгоритм, але ми ще не знаємо, як його знайти.

2. Більш сильним прикладом, хоча менш природним є по суті використання PEM або подібних неконструктивних аксіом. Це сильніше в тому сенсі, що ми можемо довести, що конструктивне існування алгоритму означало б неконструктивну аксіому (подібно слабким контрприкладам Брууера ). Такий приклад є сильнішим, тому що він не тільки говорить про те, що ми не знаємо зараз явного алгоритму (або будь-якого алгоритмічного способу їх пошуку), але і що надію на це не існує.

   Як приклад, ми можемо використовувати PEM, щоб довести існування алгоритму, тоді як ми не знаємо, який з конструктивних способів пошуку може означати неконструктивну аксіому. Наведу простий приклад:

   Проблема зупинки тривіально вирішується для кожного фіксованої машини Тьюрінга (кожна ТМ або зупиняється, або не зупиняється, і в кожному випадку є ТМ, яка видає правильну відповідь), але як ми можемо знайти алгоритм вирішення проблеми правильно, не вирішуючи ( рівномірний варіант) проблема зупинки?

   Більш формально, ми не можемо довести конструктивно , що дано ТМ існує ТМ H T , який вирішує проблеми зупинки для M . Більш формально таке твердження не можна довести конструктивно:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Тут - TM з кодом e (у деякому фіксованому представленні TM), { e } ↓ означає { e } зупинки, а { f } ↑ означає, що { f } не зупиняється.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Так.

В один момент (1) теорема про дихотомію гомоморфізму складного зваженого графа для будь-якого кінцевого розміру домену, Cai, Chen і Lu лише підтверджує існування скорочення поліноміального часу між двома проблемами підрахунку через поліноміальну інтерполяцію. Я не знаю жодної практичної цінності для такого алгоритму.

Дивіться розділ 4 версії arXiv. Лема, про яку йдеться, - лема 4.1, яку називають "першою леммою закріплення".

Один із способів зробити цей доказ конструктивним - довести складну зважену версію результату Ловаша , а саме:

Для всіх , Z H ( G , ш , я ) = Z Н ( G , W , J ) , якщо існує автоморфизм п з G такий , що F ( я ) = $G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$ .

Тут - вершина в H , i і j - вершини в G , а Z H ( G , w , i ) - сума над усіма складнозваженими гомоморфізмами графа від G до H з доданим обмеженням, яке я мушу відобразити до ш .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Цзінь-І Чай, Сі Чен та Піньян Лу, Гомоморфізми графіка зі складними значеннями: Теорема дихотомії ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Деякі перші результати з кінця 80-х:

• Співробітники та Ленгстон, " Неконструктивні інструменти для доказування поліноміально-часової розбірливості ", 1988

• Браун, стипендіати, Ленгстон, " Самопонижуваність поліноміального часу: теоретичні мотивації та практичні результати ", 1989

З реферату другого пункту:

Однак останні фундаментальні досягнення теорії графіків дали доступні нові потужні неконструктивні інструменти, які можна застосувати для гарантування членства в P. Ці інструменти неконструктивні на двох чітких рівнях: вони не виробляють алгоритм прийняття рішень, встановлюючи лише кінцевість набору перешкод , і вони не виявляють, чи може такий алгоритм прийняття рішення бути корисним у побудові рішення. Ми коротко розглянемо та проілюструємо використання цих інструментів та обговоримо, здавалося б, грізну задачу пошуку обіцяних алгоритмів рішення багаточленного часу, коли ці нові інструменти застосовуються.

Приклад нескінченної родини проблем (сумнівної практичної цінності), для яких ми можемо показати:

1. Для кожної проблеми існує алгоритм її вирішення.
2. Що немає можливості побудувати ці алгоритми (загалом).

Іншими словами, доказ неконструктивний. Наша сім'я проблем (з цього питання ) для кожної машини Тьюрінга :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

З "Теорії бідимірності та алгоритмічної графіки мінорних теорій лекцій" для підручника Мохаммеда Таджі Хаджагхайі Мареї Массоу, Йенса Шмідта, Дарії Шимури та Сіамака Тазарі.

Кожне властивість неповнолітніх графів може характеризуватися кінцевим набором заборонених неповнолітніх.

На жаль, їх результат є "невід'ємним" неконструктивним, тобто не існує алгоритму, який би в цілому міг визначити, які неповнолітні повинні бути виключені для даного малого закритого графічного властивості. Більше того, кількість заборонених неповнолітніх може бути великою: Наприклад, для графіків, вбудованих на торі, відомо більше 30 000 заборонених неповнолітніх, але список є неповним.

[...]

Кожен властивість другорядного закритого графа може бути вирішений у поліноміальний час (навіть у кубічний час).

Алгоритмічна локальна лема Ловаша - "алгоритмічна локальна лема Ловаша дає алгоритмічний спосіб побудови об'єктів, що підкоряються системі обмежень з обмеженою залежністю ... Однак лема неконструктивна, оскільки не дає ніякого розуміння того, як щоб уникнути поганих подій ". На деяких припущеннях / обмеженнях розподілу побудований алгоритм задається Мозером / Тардосом [1]. Локальна лема Ловаса, здається, має різні глибокі зв'язки з теорією складності, наприклад див. [2]

[1] Конструктивний доказ загальної локальної леми Ловаша Мозера, Tardos

[2] Локальна лема і задоволеність Лобаса Гебауер, Мозер, Шедер, Вельцл