Підграф ізоморфізму з деревом

Якщо у нас є великий (спрямований) графік та менше вкорінене дерево , яка найвідоміша складність для пошуку підграфов ізоморфних ? Мені відомо про результати ізоморфізму піддерева, де і і - дерева, а також є площинним або обмеженим шириною ширини (та ін.), Але не для цього графіка та випадку дерева. $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Рафаель
джерело

Ви маєте на увазі індукований підграф, а не підграф?

— Крістофер Арнсфельт Хансен

@Kristoffer, мене цікавлять обидва. Я пропустив щось тривіальне у справі, що не викликала спонукання?

— Рафаель

Ваша проблема є важкою для NP, навіть якщо

- це шлях, оскільки проблема найдовшого (індукованого або неіндукованого) шляху є важкою для NP.

H

$H$

— Йота Отачі

Так. Мене цікавить, що більше відомо, що є особливим для

, як дерево. Наприклад, залежно від властивостей

таких як запитання чи припущення, що

є фіксованим тощо.

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Рафаель,

Проблема індукованого шляху є W [1] -повною (Papadimitriou-Yannakakis 1991), тоді як (неіндукована) проблема шляху FPT (Monien 1985). Дивіться також Chen-Flum 2007. Я також хочу знати параметризовану складність для інших класів дерев.

— Йота Отачі

Відповіді:

Питання, чи будь-який фіксований графік є (індукованим) підграфом є властивістю визначення першого порядку, тобто для кожної існує формула ( ) така, що є (індукованим) підграфом якщо і тільки якщо ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

Раніше було відомо, що проблема перевірки моделі є фіксованим параметром, який відстежується на класах графіків, які (локально) виключають мінор та на класах (локально) обмеженого розширення . Нещодавно Grohe, Kreutzer та S. виголосили ще більш загальну мета-теорему, заявивши, що кожне властивість першого порядку може вирішуватися майже в лінійний час на ніде не щільних класах графіків.

Для вашого питання це означає наступне. Нехай - нерухоме вкорінене дерево. Тоді за лінійним часом можна вирішити, чи є (індукованим) підграфом вхідного (спрямованого або непрямого) графіка якщо є планарним, або, загалом, з класу, який виключає мінор або з класу обмеженого розширення. Проблему можна вирішити майже в лінійний час, якщо - з класу, який локально виключає мінор, або з класу локально обмеженого розширення або, як правило, - з ніде не щільного класу графіків. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Себастьян Зіберц
джерело

Його можна вирішити в рандомізованому очікуваному часі де - розмір невеликого спрямованого дерева, яке слід знайти, і - кількість ребер великого спрямованого графіка, в якому його можна знайти. Див. Теорему 6.1 Алона, Н., Юстера, Р. та Цвіка, США. (1995). Кольорове кодування. J. ACM 42 (4): 844–856 . Алон та ін. також заявляють, що їх алгоритм може бути дерадомізований, але не вказуйте деталей для цієї частини; Я думаю, що детермінований час може бути трохи більшим, щось більше, як $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— Девід Еппштейн
джерело

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

Ви, напевно, шукаєте Маркса, Пилипчука, працюючи над параметризованою складністю ізоморфізму підграфа . Технічно він охоплює лише непрямі графіки, але я думаю, ви можете адаптувати результати твердості для дерев $H$ легко вкорінюються дерева. Позитивні результати, пов'язані з вашою проблемою, вже охоплені попередніми відповідями.

— Раду Куртикапей
джерело