Ентропія згортки над гіперкубою

Скажімо, у нас є функція , така що ( тому ми можемо вважати як розподіл). Закономірно визначити ентропію такої функції так: $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

H (f) = - \sum_{x \in Z_{2}^{n}} f (x)^{2} \log (f (x)^{2}) .

$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$

Тепер розглянемо згортання із самим собою: (Зверніть увагу, оскільки ми маємо справу з , то ) $f$

[f * f] (x) = \sum_{y \in Z_{2}^{n}} f (y) f (x + y) .

$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$

Z_{2}^{n}

$\mathbb{Z}_2^n$

x + y = x - y

$x+y=x-y$

Чи можлива верхня межа ентропії (нормалізована в її -нормі, щоб вона була розподілом) ентропією ? Формально чи є така константа , що $f*f$ $L_2$ $f$ $C$

H (\frac{f * f}{‖ f * f ‖_{2}}) \leq C \cdot H (f)

$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$

it.information-theory boolean-functions fourier-analysis

Це питання було опубліковано в mathoverflow першого серпня: mathoverflow.net/questions/103668/… (зазвичай це нормально перехрестити з такою затримкою, але ви повинні сказати, що ви робите).

— Колін МакКійлан

Вибачте, я не знав цієї політики.

Нерівність енергетичної ентропії може бути корисною для вас: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality

— Або Меїр

Там немає такого . Визначте по $C$ $g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{2 n / 3} & if x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 1 & otherwise. \end{cases}

$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Тоді задовольняє $g*g$

(g * g) (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{4 n / 3} + 2^{n} - 1 & if x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 2^{2 n / 3} \cdot 2 + 2^{n} - 2 & otherwise. \end{cases}

$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Нехай . Тоді є (насправді це експоненціально мало ), тоді як приблизно . $f=g/\|g\|_2$ $H(f)=H(g/\|g\|_2)$ $o(1)$ $n$ $H(g*g/\|g*g\|_2)$ $n$

— Колін МакКіллан
джерело