Ентропія згортки над гіперкубою


12

Скажімо, у нас є функція , така що ( тому ми можемо вважати як розподіл). Закономірно визначити ентропію такої функції так: x Z n 2 f ( x ) 2 = 1 { f ( x ) 2 } x Z n 2 H ( f ) = - x Z n 2 f ( x ) 2 log ( f ( x ) 2 ) .f:Z2nRxZ2nf(x)2=1{f(x)2}xZ2n

H(f)=xZ2nf(x)2log(f(x)2).

Тепер розглянемо згортання із самим собою: (Зверніть увагу, оскільки ми маємо справу з , то )[ f f ] ( x ) = y Z n 2 f ( y ) f ( x + y ) . Z n 2 x + y = x - yf

[ff](x)=yZ2nf(y)f(x+y).
Z2nx+y=xy

Чи можлива верхня межа ентропії (нормалізована в її -нормі, щоб вона була розподілом) ентропією ? Формально чи є така константа , що L 2 f C H ( f fffL2fC

H(ffff2)CH(f)

Це питання було опубліковано в mathoverflow першого серпня: mathoverflow.net/questions/103668/… (зазвичай це нормально перехрестити з такою затримкою, але ви повинні сказати, що ви робите).
Колін МакКійлан

Вибачте, я не знав цієї політики.

Нерівність енергетичної ентропії може бути корисною для вас: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality
Або Меїр

Відповіді:


9

Там немає такого . Визначте по Cg:Z2nR

g(x1,,xn)={22n/3 if x1==xn=01 otherwise.

Тоді задовольняє gg

(gg)(x1,,xn)={24n/3+2n1 if x1==xn=022n/32+2n2 otherwise.

Нехай . Тоді є (насправді це експоненціально мало ), тоді як приблизно . H ( f ) = H ( g /g 2 ) o ( 1 ) n H ( g g /g g 2 ) nf=g/g2H(f)=H(g/g2)o(1)nH(gg/gg2)n

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.