Повноцінне введення до ізоморфізму графів для обмежених валентних графіків

Я читав про класи графів , для яких Ізоморфізм графів ( $GI$ ) знаходиться в $P$ . Одним із таких випадків є графіки обмеженої валентності (максимум понад ступінь кожної вершини), як пояснено тут . Але я вважав це занадто абстрактним. Буду вдячний, якщо хтось може запропонувати мені кілька посилань описувального характеру. У мене немає сильного досвіду в груповій теорії, тому я вважаю за краще статті, які використовують групову теорію щадно (мій досвід роботи в CS).

Алгоритм ізоморфізму графіка обмеженого ступеня настільки тісно пов'язаний з теорією групових перестановок, що я сумніваюся, що існує вступ, який використовує групи "лише обережно". Однак ви можете порадитися з доктором Паоло Коденотті. теза для більш повної інформації. Він точно не висвітлює ізоморфізм графіка обмеженого ступеня, але охоплює необхідні для цього інструменти (а решта дисертації - про гіперграми з обмеженим рангом, поширюючи найвідоміший алгоритм для загального ізоморфізму графіка на випадок з обмеженим рангом) .

Також може бути корисною книга « Групово-теоретичні алгоритми та ізоморфізм графіка» , оскільки вона охоплює більшу частину необхідного фону (глава 2, «Основні поняття», становить 47 сторінок) і є набагато більш неквапливою експозицією, ніж більшість опублікованих праць Тема.

Позначення: Нехай буде граф, е = ( v 1 , v 2 ) ребро X . Безліч вершин V K безліч вершин відстані до від е , і нехай ч буде висота X .$X = (V,E)$$e = (v_1, v_2)$$X$$V_k$$k$$e$$h$$X$

Відповідно до визначення , V = V 0 ∪ V 1 … V h і V ( h + 1 ) = ∅ . Нехай, підмножина E k ребер X ( 0 ≤ k ≤ h ) визначається як-$V_k$$V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$$V_{(h+1)}= \emptyset$$E_k$$X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

Підграф визначається як-$X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

Наприклад, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

- група автоморфізму графа X, деє фіксованою e . Якщо B є породжує безліч A ¯u т е ( Х до ) , ми пишемо ⟨ B ⟩ = у т е ( Х до ) , наприклад, очевиднощо у т е ( Х 0 ) = ⟨ ( v 1 , v $Aut_e(X)$$X$$e$$B$$Aut_e(X_k)$$\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$$Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$$(v_1,v_2)$$v_1, v_2$$X$

$X$$X$$Aut_e(X)$

Техніка:

We will construct $X_0, X_1..... X_h$. For each, $X_k$ we will construct $Aut_e(X_{(k)})$

Note that, a permutation of $Aut_e(X_{(k) })$may be extended to an automorphism of $Aut_e(X_{(k+1)})$.

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$.

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$. Then, we use the generator of$Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$, as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .