Пояснення додаткового функтора в категоричному виразі - моноїдні функтори

Я хотів би зрозуміти Applicativeз точки зору теорії категорій.

У документації на нього Applicativeсказано, що це сильний в'ялий моноїдний функтор .

По-перше, на сторінці Вікіпедії про моноїдних функторів говориться, що моноїдний функтор або слабкий, або сильний . Тож мені здається, що або одне з джерел помиляється, або вони використовують по-різному терміни. Хтось може це пояснити?

По-друге, якими моноїдними категоріями Applicativeє моноїдні функціонери? Я припускаю, що функтори є ендофункторами за стандартною категорією Хаскелл (об'єкти = типи, морфізми = функції), але я поняття не маю, що таке моноїдна структура в цій категорії.

Дякуємо за допомогу.

— Петро Пудлак
джерело

Відповіді:

Тут насправді два вживання слова "сила".

$F : C \to C$ $(C, \otimes, I)$ $\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$ $F$
$F : C \to D$ $(C, \otimes, I)$ $(D, \oplus, J)$ $\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$ $i : J \to F(I)$ , що знову відповідає умові узгодженості щодо асоціаторів.
$F : C \to D$ $\phi$ $i$ $F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$ $\phi$

Достовірний функтор, в розумінні програм Haskell, являє собою млявий моноїдний ендофунктор з міцністю , причому моноїдна структура, про яку йдеться, є декартовими продуктами. Тож саме тому ви отримуєте парадоксально звучачий термін "сильний в'ялий моноїдальний функтор".

$F$ $\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

Нарешті, якщо вас зацікавила теорія типів прикладних функторів у стилі Haskell, я щойно про це вела блог.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Functorfmap

ϕ

$\phi$

i

$i$ pureipure' = \v -> fmap (\() -> v) (i ())i :: (Applicative f) => () -> f ()

У мене була відповідна помилка в цій відповіді - тепер виправлено. І так, всі екземпляри Functorє сильними (wrt продукт).

— Ніл Крішнасвамі

Не могли б ви також детальніше розібратися, де стоїть Монада? Якщо я правильно розумію, це також моноїдний ендофунктор.

— egdmitry

Hask

$\operatorname{Hask}$

Чи можу я запропонувати використовувати слово міцний, щоб уникнути зіткнення позначень із "сильним"? Це шотландська (настільки конкретна тут) діалектна варіація "сильних", вперше використана в Біблії Вікліфа.

— Фоско

Щоб зрозуміти додаток, викликаний монадою, я хочу зазначити таку конструкцію:

$FA$ $\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

a \mapsto (g \mapsto F (g) (a))

$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$

F A \to B^{A} \to F B .

$FA\to B^A\to FB.$

F A

$FA$

F A

$FA$

F A \to F B^{A} \to F F B .

$FA\to F\,B^A\to FFB.$

F F B

$FFB$

F B

$FB$

F B^{A} \to F A \to F B,

$F\,B^A\to FA\to FB,$

L i f t M 2 i d

$\mathrm{LiftM2\ id}$

— Микола-К
джерело