Проблема ODD EVEN DELTA

Дозволяє $G = ( V, E )$ бути графіком. Дозволяє $k \leq |V|$ бути цілим числом. Дозволяє $O_k$ - кількість крайових підграфів $G$ маючи $k$ вершин і непарна кількість ребер. Дозволяє $E_k$ - кількість крайових підграфів $G$ маючи $k$ вершин і парної кількості ребер. Дозволяє $\Delta_k = O_k - E_k$ . Проблема ODD EVEN DELTA полягає в обчисленні $\Delta_k$ , дано $G$ і $k$ .

Запитання

Чи можна обчислити $\Delta_k$ в поліном час? Який найвідоміший алгоритм для його обчислення?

А якщо $G$ 3-регулярний?

А якщо $G$ це 3-регулярний двосторонній?

А якщо $G$ 3-регулярна двопалатна площина?

— Джорджіо Камерані
джерело

Яка ваша мотивація?

— Тайсон Вільямс

@TysonWilliams: Моя мотивація полягає в тому, що якщо в першій частині 1-го питання є ствердна відповідь (навіть лише для двостороннього 3-регулярного планарного випадку), то були б цікаві наслідки, які заслуговують на подальше вивчення. Якщо алгоритм є субекспоненціальним, він все одно матиме певні наслідки (менш цікаві, але, тим не менш, заслуговують на більшу розвідку).

— Джорджіо Камерані

Чи можете ви бути більш конкретними? Що ви маєте на увазі під «якимись цікавими наслідками»? Як ви зіткнулися в першу чергу з цією проблемою?

— Тайсон Вільямс

@TysonWilliams: Чи можемо ми продовжувати цю розмову приватно, електронною поштою?

— Джорджіо Камерані

Проблема ODD EVEN DELTA є # P-жорсткою, навіть на 3-регулярних двосторонніх плоских графах.

Дозволяє $\mathcal{C}$ бути набором вершинних кришок загального графа $G$ . Потім, припускаючи $G$ не має відокремлених вершин, має місце наступне рівняння (для доказу див. вищезгадану статтю):

| C | = 2^{| V |} - \sum_{k = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

Підрахунок кришок вершин є # P-повним навіть на 3-регулярних двосторонніх плоских графах, і це можна зробити за допомогою лінійної кількості викликів до оракула ODD EVEN DELTA.

— Джорджіо Камерані
джерело

ОНОВЛЕННЯ:

Я мав би зазначити, що відповідь нижче стосується особливого випадку $k = |V|$ . Оскільки цей випадок важкий, проблема в цілому $k$ також важко.

Структура Голанта - це, по суті, експоненціальна сума над проміжними підграграми (тобто всі вершини присутні в підграфові, тому сума знаходиться над підмножинами ребер). На відміну від цього, поточна версія питання стосується крайових підграфів.

Більш рання версія цього питання стосувалася підрахунку певних підграфів без ізольованих вершин. Відповідь нижче правильно відповідає цій вимозі. При розгляді обох підгалузів (тобто рамки Холанта) і відсутніх ізольованих вершин це те саме, що розглянути підграграфи, викликані краєм, з $|V|$ вершин. ОП в основному вказала на це в цьому питанні .

3-регулярні плоскі графіки

На даний момент я проігнорую вашу вимогу, щоб графік $G$ є двостороннім.

Припустимо, що $G$ 3-регулярний плоский графік. Ваша проблема може бути виражена двосторонньою площинною проблемою Холанта

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) .

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

Дозвольте пояснити, як. Більш детально, ніж я надаю нижче, дивіться цей документ .

Холант - це сума над (булевими) призначеннями ребер. На вершинах є обмеження, вхідними даними яких є присвоєння країв, що падають. Для кожного призначення ребер беремо добуток усіх вершинних обмежень.

Ваша вимога, щоб не було ізольованих вершин, є обмеження, яке не задовольняється для певної вершини, якщо не вибрано жоден з її падаючих ребер і задовольняється, якщо принаймні один край обраний. Це симетричне обмеження позначається через [0,1,1,1], який виводить 0 (тобто незадоволений), коли число вхідних даних 1 дорівнює 0 (тобто немає падаючих країв у підграфові), а виводить 1 (тобто задовольняється), коли число вхідних даних 1 - це 1, 2 або 3 (тобто 1, 2 або 3 ребра, що падають у підграфі).

Ваша інша вимога - обчислити кількість підграфів з парним числом ребер мінус підграфів з непарною кількістю ребер. Для нашого графіка $G$ , ми замінюємо кожне ребро доріжкою довжиною 2 (яку також називають 2-розтяжкою $G$ ). Це дає (2,3) -регулярний двосторонній графік. До всіх початкових вершин ми призначаємо обмеження [0,1,1,1] зверху. Всім новим вершинам ми призначаємо обмеження [1,0, -1]. Оскільки середній запис цього обмеження дорівнює 0, це змушує ребер падаючих цих вершин 2 ступеня або обом присвоювати 0 (тобто не в підграфові), або обом присвоювати 1 (тобто в підграфові). Тепер для певного призначення країв, якщо число $n$ "оригінальних" ребер є рівним, тоді внесок від усіх вершин 2 ступеня є $(-1)^n = 1$ . Інакше $n$ непарно, і внесок є $(-1)^n = -1$ . Це саме те, що ви хочете.

Ця теорія 6.1 в цій роботі ця двостороння проблема Холанта є # P-важкою . Однак цю теорему застосувати не найпростіше. Натомість врахуйте наступне.

Ми робимо голографічну трансформацію $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$ що не змінює значення Холанта. Таким чином, вищезазначена проблема точно така ж, як і

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & = Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ = Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]) . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

Тоді легко зрозуміти, що ця проблема є теоремою 1.1 у цій статті # P-hard .

Обмеження до біпартитових графіків

Як і у попередньому запитанні , з тією ж проблемою, обмеженою двосторонніми графами, набагато складніше впоратися, і я вважаю, що це все ще відкрита проблема. У нас є здогадки щодо прикладних випадків (і я перевірю, чи є ваша проблема однією з них), але я думаю, що ваша проблема все ще є # P-важкою, навіть якщо вона обмежена двосторонніми графіками.

— Тайсон Вільямс
джерело

Дякуємо, що присвятили свій час цьому питанню і за те, що ви надали таку детальну відповідь. Будучи не знайомий з рамкою Голанта, мені знадобиться певний час, щоб проаналізувати його і повністю метаболізувати ваші міркування (звичайно, я не сумніваюся у його правильності, я просто хочу зрозуміти кожен крок, не лише висновок). . Що стосується двостороннього обмеження, так, було б дуже приємно, якби ви могли перевірити, чи охоплює ваша проблема припущення про випадкові випадки.

— Джорджіо Камерані