Поняття однотонних квантових схем

У складності обчислень є важлива відмінність між монотонними та загальними обчисленнями, і відома теорема Різборова стверджує, що 3-SAT і навіть МАТЧИНГ не є поліномом у монотонній булевій схемі.

Моє запитання просте: чи існує квантовий аналог для монотонних схем (або більше одного)? Чи існує квантова теорема Разборова?

Ви справді задаєте два різні питання і сподіваєтесь, що існує одна відповідь, яка відповідає на обидва: (1) Які природні поняття квантових монотонних схем існують? (2) Яким би виглядав квантовий результат на основі ґратчастого Розборова?

Не очевидно, як досягти обох одночасно, тому я опишу те, що мені здається розумним поняттям квантових монотонних схем (не вказуючи, чи є відповідний результат Розборова) чи зовсім іншим поняттям як виглядатиме "природний" квантовий роздум Розборова (не вказуючи, чи це вірно).

Чого ми хочемо від кванту

Як зауважую в коментарях, я вважаю, що не варто намагатися витиснути поняття монотонних схем у форму унітарності. Чи то в тому, що еволюція з часом не потребує збереження стандартної основи, чи у тому, що існує безліч основ вимірювання, в яких результати можуть бути заплутані, я думаю, що умовою квантових обчислень є умова , що стандартна основа - не єдина основа. Навіть серед станів продукту він є в деяких реалізаціях, визначених лише вибором рамки відліку.

Що ми повинні зробити, це розглянути речі таким чином, щоб прибрати стандартну основу зі свого традиційного привілейованого місця - або, у цьому випадку, наскільки це можливо, зберігаючи змістовне поняття монотонності.

Проста модель квантових монотонних схем

Розглянемо схему схеми, яка є чіткою в коментарі Цуйосі Іто про "монотонні квантові канали" (і це майже все, що потрібно робити, якщо хочеться поняття "ланцюга", яке не обмежується єдиною еволюцією).

Нехай - простір ермітових операторів на (щоб він містив усі оператори щільності на одному кубіті). Як би ми визначили квантовий монотонний затвор з двох вхідних кубітів до вихідного кубіту , таким чином, щоб це не було ефективно класичним монотонні ворота? Я думаю, що прямо сказати, що вихід не повинен обмежуватисяабоабо їх суміші; бу, щоб бути "монотонним", нам слід вимагати, як і C 2 G : H a ⊗ H b → H c a $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$c | 0 $a,b$$c$| 1 $|0\rangle\!\langle 0|$⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$⟨ 1 $\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$⟨1| G(ρ a b )| 1⟩$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$ збільшення розміщення, значення має не зменшуватися. Для шлюзу з двома входами-кубітом це означає, що повинен бути реалізований в принципі як$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. виконання двохубітного вимірювання відносно деякої ортонормальної бази , де охоплюють підпростір Хеммінга вагою 1 і| ц ⟩ , | N , $\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. створюючи як вихід деякий стан відповідає результату, який він вимірював, де для кожного .$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$$\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

Схеми - це лише композиції з них у розумному вигляді. Ми також можемо дозволити вентиляцію у вигляді схем, які вбудовують та ; ми повинні як мінімум дозволити ці карти на вході, щоб дозволити скопіювати кожен (номінально класичний) вхідний біт.$|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

Здається розумним або розглянути весь континуум таких воріт, або обмежитися деяким обмеженим збором таких воріт. Будь-який вибір породжує різні схеми "квантових монотонних затворів" для мікросхем; можна розглянути, якими властивостями володіють різні монотонні основи. Стани можна вибирати абсолютно незалежно, за умови обмеження монотонності; Безперечно, було б цікаво (і, ймовірно, практично пов'язана помилка) встановитиі, хоча я не бачу причин вимагати цього в теорії. Очевидно, І і АБО є воротами такого типу, деі$\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$$\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$$\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$$\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$$\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$відповідно, що б хто не вибрав або бути.$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

Для будь-якої постійної k можна також розглянути основи воріт, включаючи k- ulaz-один-вихідні ворота. Найпростішим підходом у цьому випадку, ймовірно, було б дозволити ворота які можуть бути реалізовані як вище, дозволяючи будь-яке розкладання підпросторів кожної ваги Хеммінга , і вимагати, щоб для кожного$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . Не ясно, скільки додаткової обчислювальної сили це дало б вам (ні навіть у класичному випадку).

Я не знаю, чи є щось цікаве сказати про такі схеми поза класичним випадком, але це здається мені найбільш перспективним визначенням кандидата "квантового монотонного кола".

Квантовий варіант результату Разборова

Розглянемо виклад Тіма Гоуерса результатів Alon & Boppana (1987), Combinatorica 7 pp. 1–22, які підсилюють результати Різборова (і чітко пояснює деякі його прийоми) щодо монотонної складності CLIQUE. Гоуерс представляє це з точки зору рекурсивної побудови сімейства множин, виходячи з "півпростору" булевого куба для кожного . Якщо ми видалимо привілейоване положення стандартної основи в базових множинах, аналогічно локальній леммі Quantum Lovász , ми можемо розглянути підпростір

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$відповідати двійковій пропозиції (належить чи стан до підпростору, чи замість цього ортогональний), що може виникнути в результаті вимірювання. Наприклад, ми можемо вважати підпросторами заданими Допускаємо квантово-логічні аналоги сполучення та диз'юнкції підпросторів: $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$ $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ Потім ми запитуємо, скільки часу потрібна рекурсивна побудова сполучників та диз'юнкцій просторів, щоб отримати пробіл , таким чином, що проектор на лише незначно відрізняється від проектора на простір, що охоплюється індикаторними функціями графіків, що мають кліки розміром ; наприклад, так що$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. Монотонна частина бере участь у квантових логічних операціях, а примітивні пропозиції про вхідні дані також є квантовими.

У загальному випадку існує проблема з трактуванням цього як обчислювальної проблеми: диз'юнкція не відповідає жодним знанням, які можна було б з певністю отримати, вимірюючи на кінцевій кількості копій, використовуючи вимірювання чорного поля для і окремо, якщо вони не є зображеннями проекторів, що працюють на маршрутах. Ця загальна проблема все ще може трактуватися як цікавий результат про геометрико-комбінаторну складність і може спричинити результати, пов'язані з розчаруванням місцевих гамільтіонів. Однак може бути більш природним просто вимагати, щоб підпростори$\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$виникають від проекторів, що комутують, у цьому випадку диз'юнкція є лише класичним АБО результатами вимірювання цих проекторів. Тоді ми можемо вимагати, щоб були однаковими, і це стає проблемою щодо унітарної схеми (яка породжує "примітивні події") з ​​монотонною класичною післяобробкою (яка виконує логічні операції над цими подіями).$U_j$

Зауважте також, що якщо ми не накладаємо будь-яких подальших обмежень на пробіли , це може бути підпростір з дуже високим перекриттям з деяким простором охоплюється стандартними базовими станами , які є бінарними рядками, у яких .$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• Якщо ця можливість змушує вас пихати, ви завжди можете вимагати, щоб мав кут відділення від будь-якого принаймні (так що наші примітивні підпростори, в гіршому випадку, приблизно непідвладніє підпросторам, у яких один із бітів встановлений на 1).$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• Якщо ми не нав'язуємо такого обмеження, мені здається, що допускати підпростори, які мають велике перекриття з , перешкодою для наближення CLIQUE (r) у будь-якому разі будуть перешкодою; або ми будемо більш-менш обмежені у розгляді відсутності певного краю (а не його наявності), або ми були б змушені взагалі ігнорувати один з ребер. Отже, я не вважаю надзвичайно важливим накладати будь-які обмеження на , за винятком можливо, що всі вони є зображеннями комерційних наборів проекторів, якщо метою є розглянути, як "монотонно оцінити CLIQUE з простих квантових пропозицій ". У гіршому випадку, це класично дозволено дозволити НЕ браму на вході (а всі вентилятори виникають після заперечення).$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

Знову ж таки, мені незрозуміло, чи заміщення базових множин на довільні підпростори породжує більш цікаву проблему, ніж просто використання підпросторів ; хоча якщо ми обмежимось випадками формул CNF (або у маршруті, що рухається, чи у справі, що не перебуває на маршрутах), отримані нами результати відповідатимуть деякому поняттю складності гамільтоніана без фрустрації, чий наземний стан складався зі стандартної основи держави, що представляють кліки.$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Як свідчать коментарі Робіна та Цюйоші, поняття монотонних схем, здається, легко поширюється на квантові схеми.

Для того, щоб мати осмислене визначення квантового монотонного контуру, нам потрібно підібрати впорядкування щодо квантових станів, щодо яких визначається монотонність. Класично прийнятним варіантом (і тим, що призводить до нормального поняття монотонних ланцюгів), є вага Хеммінга, але давайте розглянемо впорядкування, задане довільною функцією .$f$

Оскільки еволюція замкнутої квантової системи є унітарною (для якої ми можемо вважати, що задана ), то для кожного стану така, що існує альтернативний стан такий, що але для якого , отже еволюція не є монотонною.$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

Таким чином, єдиними монотонними щодо є схеми, які для всіх . Таким чином, будь-яка множина воріт, яка є монотонною щодо , складається з воріт, які рухаються з .$f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

Очевидно, що набори воріт, які можуть задовольнити це, залежать від визначення . Якщо постійний, то всі набори воріт відносно нього монотонні. Однак якщо ми виберемо як вагу станів Хеммінга в обчислювальній основі (дещо природне розширення використовується в класичному випадку), ми отримаємо цікаву структуру. Введене обмеження вимагає, щоб вага Хеммінга залишався незмінним. Операції, які зберігають цю суму, або діагональними операціями, або частковими SWAP, або їх комбінаціями. Ця структура досить часто виявляється у фізиці (в моделях жорсткого зв’язування тощо) і схожа на проблему розсіювання Босона, вивчену Ааронсоном та Архиповим$f$$f$$f$$f$, хоча не ідентична (це дещо інша проблема розсіювання). Далі він містить схеми для IQP , а тому не повинен бути ефективно модельований класично.

ви задаєте в основному два питання з широкою розбіжністю на кордоні двох великих полів, тобто булевих схем і обчислень QM, про можливість того, що іноді в математиці називають "теоремою моста":

• квантовий аналог монотонних схем

• квантовий аналог тмм Разборови

коротка відверта відповідь - ні чи не поки що .

для (1), не настільки важке питання, але все ще, мабуть, рідко розглядається, виявилося таке посилання, яке можна розглядати як пов'язаний випадок у літературі.

Твердість наближення для квантових задач по Гарібіану та Кемпе

вони розглядають деякі "монотонні" проблеми в квантовому контексті, наприклад, QMSA, "Квантове монотонне мінімальне задовільне призначення, QMSA", тобто аналог SAT QM; (також інша проблема Квантового однотонного слова з мінімальною вагою, QMW) та показують деякі результати наближення твердості, тобто нижні межі. вони не розглядають монотонні квантові схеми самі по собі, але ідеєю може бути те, що квантовий контур або алгоритм, який вирішує монотонну функцію QMSA, можна вважати аналогом QM.

що стосується (2), це був би дуже просунутий результат, якби він існував, який, схоже, не "поки що". Тзм Разборова - це, в основному, результат «нижнього вузького» типу, який вважається чітким проривом і майже неперевершеним результатом теорії (монотонної) схеми.

так, грубо кажучи, так, звичайно, є деякі нижчі межі вузьких обчислень, виявлені в обчислювальних технологіях, наприклад, пов'язані з прямими теоремами про продукцію, для опитування див.

Квантові алгоритми, нижні межі та часово-просторові компроміси від Spalek

однак, мабуть, краща аналогічна обчислювальна система QM повинна ставити нижню межу на кількість кубітних операцій або, можливо, заснована на "повних" воротах, таких як ворота Toffoli для монотонної функції. мені невідомі докази такого типу.

інший підхід може обмежити аналіз спеціальними квантовими воротами AND і OR АБО з додатковими бітами "ацилла", що дозволяють зробити ворота оборотними.