Алгоритми наближення поліноміального часу для машинного планування: скільки відкритих проблем залишилось?

У 1999 році Петра Шуурман та Герхард Дж. Уогенгер опублікували документ "Алгоритми наближення поліноміального часу для машинного планування: Десять відкритих проблем" . З тих пір, наскільки мені відомо, відгуки, які стосувались би одного і того ж переліку проблем, не з’являлися. Таким чином, було б чудово і корисно, якби кожен з нас зміг зробити такий підсумок про деякі з десяти відкритих проблем і зробити свій внесок тут.

Зведення до мінімуму на однакових машинах з обмеженням пріоритету

Відкрита Завдання 1. Забезпечити $4/3+\delta$ результат inapproximability для $P|prec|C_{max}$ .

Ось, що першим спадає на думку, це документ цього року Оли Свенссон "Умовна твердість обмеженого планування прецедентів на ідентичних машинах". У своїй роботі Ола доводить це

"якщо проблему однієї машини важко визначити в коефіцієнті то розглянуту проблему паралельної машини, навіть у випадку одиничного часу обробки, важко визначити в межах коефіцієнта 2 - ζ , де ζ прагне до 0 як ϵ прагне до 0. "$2-\epsilon$$2-\zeta$$\zeta$$\epsilon$

У 2008 р. Була опублікована робота "Графік з обмеженням превенції в" · оптимальний », що описує алгоритм дляP|prec,pj=1|Cmaxіз коефіцієнтом продуктивності, зазначеним у його назві. Це покращується за алгоритмом Коффмана-Грема із пов'язаними2-$(2−\frac{7}{3p+1})$$P|prec,p_j=1|C_{max}$ , деp- кількість машин.$2-\frac{2}{p}$$p$

У роботі "Алгоритми наближення для планування завдань із обмеженнями пріоритетності ланцюга" Янсена та Соліса-Оба міститься PTAS для , і, як наслідок, для P m | c h a i n s | C m a x як особливий випадок колишньої проблеми.$Qm|chains|C_{max}$$Pm|chains|C_{max}$

Цього року з'явилася стаття "Схеми наближення до планування робочих місць із обмеженнями ланцюгового пріоритету" Янсена та Соліса-Оба (журнальна версія попереднього), що стосується PTAS для із фіксованою кількістю завдань у кожному ланцюжку та P | p r e c | C m a x з постійною кількістю завдань у підключеному компоненті кожного замовлення.$P|chains|C_{max}$$P|prec|C_{max}$

Мінімізація масштабу на рівномірних машинах з обмеженням пріоритету

Документ 2003 року "Алгоритми наближення планування завдань з обмеженнями ланцюгового пріоритету" Янсена та Соліса-Оба містить PTAS для .$Qm|chains|C_{max}$

Мінімізація масштабу при обмеженні пріоритету із затримками зв'язку

Зведення до мінімуму на непов'язаних машинах

Зниження розміру у відкритих магазинах

Зведення до мінімуму в потокових цехах

У статті Нагараджана та Свириденка з 2008 року "Щільні межі для планування роботи магазину перестановки" ми можемо знайти верхню межу співвідношення між оптимальним розміром та найкращим графіком перестановки. Ця межа є коефіцієнтом наближення запропонованого алгоритму, і це найкраще серед алгоритмів, заснованих на тривіальних нижніх межах, до фактор. До речі, запропоновані алгоритми в даний час є оптимальними коефіцієнтами наближення.$2\sqrt{2}$

Зведення до мінімуму в магазинах роботи

Відкрита задача 7. Вирішіть, чи існує алгоритм апроксимації поліноміального часу для , найгірші показники роботи якого не залежать від кількості m машин та / або незалежно від максимальної кількості μ операцій. Забезпечити 5 / 4 + δ результат inapproximability для J | | C m a x . Надайте результат непереборності для J | | C m a x , значення якого зростає з числом $J||C_{max}$$m$$\mu$$5/4+\delta$$J||C_{max}$$J||C_{max}$$m$ машин до безмежності.

Створіть PTAS для для випадку, коли μ є частиною входу; або спростувати існування такого PTAS під P ≠ NP.$J2||C_{max}$$\mu$$\ne$

Дисертація Свенсона "Наближення деяких задач класичного графіка та планування" містить результати, що показують, що не можна наблизити в межах O ( ( log l b ) 1 - ϵ ), якщо вважати N P ⊆ Z T I M E ( 2 log n O ( 1 / ϵ ) ) і що J 2 | | C m a $J||C_{max}$$O((\log lb)^{1-\epsilon})$$NP\subseteq ZTIME(2^{\log n^{O(1/\epsilon)}})$$J2||C_{max}$не має PTAS, якщо .$NP\subseteq DTIME(n^{O(\log n)})$

Загальний час виконання роботи без обмежень у пріоритеті

Загальний час виконання роботи за обмеженнями пріоритетності

Відкрита задача 9. Доведіть, що і 1 | p r e c | ∑ w j C j не мають алгоритмів наближення поліноміального часу з гарантією продуктивності 2 - ϵ, якщо P = NP.$1|prec|\sum C_j$$1|prec|\sum w_jC_j$$2−\epsilon$

У «Оптимальному довгому тесті коду з одним безкоштовним бітом» Бансал та Хот довели, що це так, але припускаючи новий варіант унікальної гіпотези.

Критерії часу потоку

Відкрита проблема 10. Створення алгоритмів наближення поліноміального часу з гарантіями постійної продуктивності для і для P | p m t n ; r j | ∑ F j .$1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$$P|pmtn;r_j|\sum F_j$

$O(1)$$1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$$O(1)$

$\Omega(\sqrt{\frac{\log P}{\log\log P}})$$P|pmtn;r_j|\sum F_j$$\Omega(\frac{\log P}{\log\log P})$

Ця веб-сторінка може містити інформацію про користь:

http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/research/OR/class/