Односторонні помилки в імовірнісних системах доказування

У більшості імовірнісних систем підтвердження (наприклад, теорема PCP) ймовірності помилок зазвичай визначаються на стороні помилкових позитивів, тобто типове визначення може виглядати так: якщо то верифікатор завжди приймає, але в іншому випадку ймовірність відхилення становить щонайменше 1/2.$x \in L$

Чи є проблема в допущенні помилки з іншого боку? Це означає, що перевіряючий завжди відхиляє, коли повинен, і робить не більше, ніж постійну помилку, коли йому потрібно прийняти. Ще одна очевидна можливість - допускати помилку з обох сторін. Чи будуть ці визначення еквівалентні тому, що зазвичай дається? Або вони поводяться інакше? Або з цього питання, чи існує справжня проблема в допущенні помилок з іншого боку?

Допустити помилку повноти не має жодних проблем, і це часто вважається. Ось кілька покажчиків .

З іншого боку, загалом кажучи, заборона помилки звуковості значно знімає потужність моделі.

У випадку інтерактивних систем доказів, заборона помилки звуковості робить взаємодію марною, за винятком одностороннього зв'язку від доказчика до перевіряючого; тобто IP з ідеальною звуковістю дорівнює NP. Це можна показати, розглядаючи машину NP, яка відгадує випадкові біти верифікатора та стенограму взаємодії, яка змушує верифікатор приймати [FGMSZ89].

Що стосується систем, що підтверджують імовірність перевірки (PCP), ті ж міркування показують, що необхідність ідеальної надійності робить випадковість марною для вибору місць для запиту. Точніше, можна показати, що PCP ( r ( n ), q ( n )) з повнотою c ( n ) та ідеальною звуковістю (навіть з адаптивними запитами) дорівнює класу C задач рішення A = ( A _так , А _ні ), для якої існує мова B ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * в P така, що

• якщо x ∈ A _так , то Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [∃ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} такий, що ( x , y , z ) ∈ B ] ≥ c ( n ), і
• якщо x ∈ A _ні , тоді ∀ y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) ∉ B ,

де n = | х |. (Зауважте, що у визначенні класу C випадок "так" не вимагає підготовки цілого сертифіката перед тим, як перевіряючий підбере випадкову рядок y , на відміну від звичайного визначення системи PCP. Сертифікат може бути підготовлений після знання y , і потрібна лише запитувана частина сертифіката, через що довжина z дорівнює q ( n ).) У поєднанні з прямими нижніми межами це означає:

• PCP (log, log) з ідеальною звуковістю = P.
• PCP (poly, log) з ідеальною звуковістю = RP .
• PCP (poly, poly) з ідеальною звуковістю = NP.

Порівнюючи їх із теоремами PCP PCP (log, O (1)) = NP та PCP (poly, O (1)) = NEXP, ми можемо побачити, що потребує досконалої міцності має величезний вплив.

[FGMSZ89] Мартін Фюрер, Од Голдрайх, Ішай Мансур, Майкл Сіпсер та Стітіс Захос. Про повноту та надійність в інтерактивних системах доказування. У випадковості та обчисленнях , т. 5 Прогреси в обчислювальних дослідженнях , с. 429–442, 1989. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps