подібні матриці

Враховуючи дві матриць A і B , задача вирішити, чи існує перестановна матриця P така, що B = P - 1 A P еквівалентна (Графічний ізоморфізм). Але якщо ми розслабимо P як просто обернену матрицю, то яка складність? Чи існують якісь інші обмеження на обертову матрицю P , окрім перестановки, які пов'язують цю проблему з іншими важкими проблемами?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Матриці A і B , елементи яких знаходяться в полі F, є подібними (у F ) тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову нормальну форму Фробеніуса . Згідно швидкого пошуку, здається, що нормальна форма Фробеніуса матриці n × n може бути обчислена за допомогою O ( n ³ ) польових операцій [Sto98], і що це можна вдосконалити до чогось, порівнянного зі складністю множення матриці [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Алгоритм O ( n ³ ) для нормальної форми Фробеніуса. У працях Міжнародного симпозіуму 1998 року з символічного та алгебраїчного обчислення (ISSAC) , стор. 101–105, серпень 1998 р. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Арне Сторхоханн. Детерміновані обчислення форми Фробеніуса. У 42-му симпозіумі IEEE з основ інформатики (FOCS) , стор. 368–377, жовтень 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Дійсно існують інші обмеження щодо які пов’язують цю проблему з ГІ. Наприклад, якщо потрібно, щоб P був продуктом Kronecker (тензор) P $P$$P$ , то отримана проблема є такою ж важкою, як еквівалентність 3-валентних тензорів, що приблизно така ж складність, як і лінійна еквівалентність коду, що в свою чергу, як відомо, є GI-жорстким (але невідомо, що є еквівалентним GI).$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

Ще одна точка зору на ваше запитання, яка може пролити деяке світло на загальну ситуацію, полягає в наступному. Для будь-якої групової дії на множину X n (по одній на кожен n ) можна запитати про складність рішення, якщо дві задані точки x , y ∈ X n знаходяться в одному G n -орбіті; називаємо це проблемою орбіти для цієї дії (сімейства). Тоді ваше запитання по суті полягає у складності проблем з орбітою, яку можна сформулювати так: задавши лінійну дію групи G n на векторний простір V $G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$, розглянемо задачу орбіти індукованої дії (шляхом кон'югації) на X n = V n ⊗ ( V n ) ∗ .$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

Для графічного ізоморфізму маємо і V n = R n з природною дією шляхом перестановки координат. Для матричного сполучення маємо G n = GL n ( F ) у своїй природній дії на V n = F n . Для наведеного вище прикладу маємо G n = GL a × GL b × GL c за своєю природною дією на V n = F a ⊗ $G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$