Кількість чітких вузлів у випадковій прогулянці

Час комутації у підключеному графіку визначається як очікувана кількість кроків у випадковому проході, починаючи з , до того, як буде відкрито вузол , а потім знову буде досягнуто вузла . Це в основному сума двох моментів ударів і . $G=(V,E)$ $i$ $j$ $i$ $H(i,j)$ $H(j,i)$

Чи є щось подібне до часу маршруту (не зовсім однакового), але визначеного в межах вузлів? Іншими словами, яка очікувана кількість різних вузлів, яку буде відвідувати випадкова прогулянка, що починається з і повертається в ? $i$ $i$

Оновлення (30 вересня 2012 р.): Існує ряд пов’язаних робіт щодо кількості окремих сайтів, які відвідує випадковий ходок по решітці (тобто ). Наприклад, див .: http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no $\mathbb{Z}^n$

Хтось коли-небудь щось читав на цьому?

— Фабріціо Сільвестрі
джерело

У чому полягає проблема з наступним аргументом? Випадкова прогулянка на графіку може бути описана ланцюгом Маркова, де стану - це вузли. Так само можна зобразити ту саму прогулянку ланцюгом Маркова, де стану можуть бути країми. (Кожен край також містить поточну інформацію про відвідуваний вузол.) Після отримання ланцюга Маркова ви можете використовувати будь-яке визначення / результат ланцюгів Маркова.

— Abuzer Yakaryilmaz

Дякуємо за коментар Я фактично забув сказати чіткі вузли. Зараз я можу змінити питання.

— Фабріціо Сільвестрі

Можливо, я пропустив це (вибачте, якщо так), але яка URL-адреса до повідомлення в SE?

Я видалив посаду в SE ... Забороняється публікувати одне і те ж питання в двох різних місцях.

— Фабріціо Сільвестрі

це залежить від конкретного графіка, правда? Ви можете намалювати щось, що відомо про подібні проблеми?

— vzn

Відповіді:

із запитань із вами з вами в коментарях, вам здається, що вам цікаво вивчити щось, визначене як відстань стека в цьому наборі слайдів, про математичне моделювання кеш-пам'яток

визначити відстань стека посилання, що є кількістю унікальних адрес блоку між поточною посиланням та попередньою посиланням на той самий номер блоку.

він має емпіричний аналіз за допомогою еталонів. в ньому загалом сказано, що "невідомо вимірювання локальності" запитів кешу, а потім пропонується відстань стека як такий захід. це не пов'язане з теорією випадкових графів, хоча ви накреслюєте такий зв'язок у своїх коментарях. (здається, що там відстань у стопі може бути пов'язана із змішуванням ланцюгів Маркова ?)

виявляється, що вам цікаво моделювати продуктивність кешу або алгоритми оптимізації, розглядаючи запити кешу як вузли графіка, а ребра - як переходи між суміжними запитами. не бачили робіт, які вивчають структуру цього графіка. це, мабуть, не є чисто випадковим графіком у реальних програмах через успіх кешів на практиці та те, що називається просторової і тимчасової локальності в вищезазначених слайдах. тобто якесь "згуртування", як Джо нарисує у своїй відповіді.

(можливо, вона має невелику структуру світу ? Це досить всюди в даних реального світу)

— взн
джерело

Гарний улов. Дійсно, вона має невелику світову структуру. Насправді, у заявці я маю на увазі розподіл ступеня, що відповідає закону про владу. Тепер це може допомогти ... Все-таки ми не знайшли хорошого способу поїхати :)

— Фабріціо Сілвестрі

Дякую. який параметр кешування ви намагаєтеся оптимізувати? здається, ймовірно, якимось чином співвідноситься безпосередньо із чинником закону про владу ....? підозрюєте, що прості підходи до Монте-Карло можуть показати, що відстань у стеці пов'язана із

— чинником

ну ... На початку я думав співвіднести k з

в силовому законі. Очевидно, що різні значення

, тобто

, доведеться розглядати окремо. Я просто намагався побачити, чи є щось, що не відповідає графам закону про владу. Щось більш загальне, так би мовити. У будь-якому випадку я хочу перевірити концепцію відстані стека. Не знав про це.

α

$\alpha$

α

$\alpha$

= 1, < 1, > 1

$=1, < 1, > 1$

— Фабріціо Сільвестрі

Схоже, відстань стека не вивчалася безпосередньо в теорії графів, але її величезне поле. зауважте, що модель ватт / строгац хороша для підходів Монте-Карло, що створюють невеликі світові графіки. також випадкові прогулянки по графіку від lovasz - це хороший огляд теорії прогулянок на випадкових графах.

— vzn

Коментар: Нещодавно я взяв участь у розмові Брюса Ріда із заголовком Лови п’яного злодія» , яка була спільною роботою з Наташею Коморовим та Пітером Вінклером. Якщо ви зможете одержати результати цієї роботи, можливо, це може допомогти вам в якомусь напрямку.

Загалом, вони доводять верхню межу щодо кількості кроків, які потрібні поліцейським у загальному графіку, щоб мати змогу зловити грабіжника, коли ми знаємо, що грабіжник переміщається навмання по краях.

— Pål GD
джерело

Будь-яка можливість мати чернетку або копію слайдів?

— Фабріціо Сільвестрі

Вибачте, що мені більше нічого не можна віддавати, але, можливо, ця тема MO допоможе: Копи та п’яні грабіжники .

— Pål GD

Дякую Пеле ... я дивлюся на папір, пов’язаний з теми МО.

— Фабріціо Сілвестрі

Це насправді не належна відповідь на ваше запитання, але трохи задовга для коментаря.

Кількість, яку ви будете шукати, буде залежати від графіка до графіка і залежатиме від початкового місця прогулянки. Очікувана кількість чітких проміжних вузлів сильно залежатиме від кластеризації в межах графіка, і я б очікував, що очікувана кількість окремих проміжних вузлів буде співвіднесена з коефіцієнтом кластеризації .

Кластер - це, як правило, підмножина вершин, які ділять велику кількість ребер, так що кожна вершина з'єднана з великою часткою інших вершин у кластері. Коли ходок потрапляє у скупчення, ймовірно, він залишиться в цьому регіоні для великої кількості хмелів, можливо, переглядаючи кожен вузол багато разів. Дійсно, використання випадкових прогулянок таким чином є одним з обчислювальних прийомів, що використовуються для ідентифікації кластерів у великих графіках. Таким чином, для прогулянкового ходу, що починається в кластері, очікувана кількість чітких проміжних вершин, можливо, буде масштабуватися з розміром кластера та середньою ймовірністю виходу з кластеру.

$N$ $\frac{1}{N}$ $N+1$

Середня ступінь вершин у графі також буде відігравати важливу роль, хоча це пов'язано з кластеризацією. Причиною цього є те, що коли ходунок стрибає на вершину зі ступенем 1, він повинен повернутися до попередньої вершини на наступному стрибку. Навіть коли ступінь дорівнює 2, є лише один шлях, який можна пройти через графік, хоча його можна пройти в будь-якому напрямку при кожному стрибку. З іншого боку, для графіків зі ступенем вище 2 кількість шляхів може вибухнути, що робить вкрай малоймовірним повернення на початковий сайт, навіть якщо найкоротший шлях між ними малий.

Таким чином, ви б очікували, що кількість чітких проміжних вершин буде високою для графіків, які мають середній ступінь істотно вище 2, а також не мають значної кластеризації, наприклад дерев.

Звичайно, ці коментарі більше не стосуються квантових випадкових прогулянок, але, мабуть, вас цікавить лише класичний випадок.

— Джо Фіцсімонс
джерело