Складність живлення матриці

Нехай $M$ - квадратна ціла матриця, а $n$ - додатне ціле число. Мене цікавить складність наступної проблеми рішення:

Чи є позитивним праворуч зверху позитивним? $M^n$

Зауважимо, що очевидний підхід ітераційного квадратування (або будь-який інший явний обчислення) вимагає від нас потенційно обробляти цілі числа подвійної експоненціальної величини, тобто мають експоненціально багато біт. Однак проблему легко помітити в класі "PosSLP" Allender et al. ( "Про складність чисельного аналізу", SIAM J. Comput. 38 (5) ), а отже, і на четвертому рівні ієрархії підрахунку. .

1) Чи можна розмістити цю задачу живлення матриці в нижчий клас складності?

2) Якщо ні, чи може це бути PosSLP-жорстким?

3) Мене особливо цікавить проблема живлення матриць для малих матриць, тобто до 6x6 матриць. Чи може складність бути нижчою для таких матриць?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Джоель
джерело

Чи не слід назву змінювати на "Складність живлення матриці"? Експонентація матриці (див., Наприклад, en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ), як правило, розуміється як "A = exp (B)" для матриць A, B.

— Мартін Шварц

Я відредагую. це хороший момент, @MartinSchwarz

— Суреш Венкат

Якщо ви перетворите матрицю у форму PDP-1 (яка для невеликої матриці та достатньо високої потужності n можна вважати постійною), то ви можете знати ознаку кожного запису діагональних записів тривіально. Тоді легко з’ясувати решту двох множин матриць.

— Роберт Мейсон

@Роберт Мейсон: Я не зовсім впевнений, що ти пропонуєш. Якщо D - Йорданська канонічна форма M, так що M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P, то записи D зазвичай є складними алгебраїчними числами, так що ви маєте на увазі під їх «знаком»? Я погоджуюся, що ви можете обчислити D і P за поліноміальним часом (якщо вважати стандартні подання алгебраїчних чисел), але вираз, який ви отримаєте для правого верхнього введення M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P буде виразом за участю різних алгебраїчних чисел, піднятих до потужності n, і я не бачу, як можна ефективно визначити знак цього виразу.

— Джоель

@Robert Mason: Я досі не розумію - як / чому це ефективно для обертових матриць? (І, до речі, "більшість" матриць є зворотними, а не протилежними.)

— Joel

Для матриці розмірів Матриці Включення позитивності Проблеми в (см цій статті з'явитися в STACS 2015) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— SamiD
джерело

Не втримався від опублікування цього запису! :-)

— СаміД