Підходи до GI, натхненні проблемою вузлів

GI та Knot Problem - це проблема вирішення структурної еквівалентності математичних об'єктів. Чи є результати, що встановлюють зв'язки між ними? Хороші зв’язки проблеми вузла зі статистичною фізикою були досліджені за допомогою вузлів поліномів , чи є подібні результати для ? $GI$

Було б особливо корисно знати, чи є якісь стандартні результати / попередження / пропозиції / коментарі, перш ніж почати вивчати мотивовану проблемою вузлів. Власне, мені було цікаво, чи рекомендується його досліджувати в цьому напрямку для моєї магістерської роботи. Мене цікавлять квантові / класичні підходи до проблем із та алгебраїки. Будь-які інші пропозиції вітаються. $GI$ $GI$

— ДургаДатта
джерело

з ізоморфних графів mathworld : "n певний сенс, ізоморфізм графа на практиці простий, за винятком набору патологічно складних графіків, які, здається, викликають усі проблеми. Отже, на відміну від теорії вузлів, ніколи не було жодної значної пари графів, для яких ізоморфізм ... На жаль, майже напевно не існує простого для обчислення універсального графіка інваріантного, незалежно від того, чи ґрунтується на спектрі графів чи будь-яких інших параметрах графіка (Royle 2004) ".

— vzn

Мабуть, еквівалентність вузлів також легко на практиці.

— Jeffε

У мене є плакат аналогічне питання тут physics.stackexchange.com/questions/39328 / ... також

— DurgaDatta

Наскільки мені відомо, немає "патологічно складних" вузлів, які викликають усі проблеми. Було б дуже цікаво знайти сімейство unknots, які мали поганий час роботи в різних програмах розпізнавання unknot, як доказово, так і просто експериментально.

— Сем Неад

Відповіді:

Одне з'єднання полягає в тому, що графічний ізоморфізм та вузловий ізоморфізм - це окремі випадки 3-багаторазового гомеоморфізму. У випадку вузла два вузли ізоморфні, якщо їх доповнення (колектори, утворені вилученням точок вузла з 3-простору) є гомеоморфними.

І у випадку з графіком можна перетворити графіки на багатоманітники таким чином, що графіки будуть ізоморфними тоді і лише тоді, коли багатообрази є гомеоморфними. Я написав коментар про це в публікації в Google+ в грудні минулого року, але, на жаль, не в публікації, якою я можу поділитися. Побудова починається з колектора для кожної вершини v у вигляді доповнення в 3-кулі букета ступеневих (v) петель (з'єднаних разом у спільній вершині). Для кожного краю uv з'єднайте колектори для u і v разом хірургічним шляхом, і з'єднайте одну петлю від u та одну петлю від v по всій хірургічній кулі. Тоді кожен ізоморфізм графіків переходить до гомеоморфізму отриманого колектора (це було б правдою навіть у тому випадку, якщо ми просто застосовували хірургічну операцію на 3-х сферах без букетів), і букети запобігають виникненню додаткових гомеоморфізмів, які не походять від графіка. .

— Девід Еппштейн
джерело

більш загальним питанням є зв’язок між теорією вузлів та теорією графів. як одне з можливих місць для початку існує зв'язок між поліномом Джонса (використовується для класифікації вузлів) та поліномом Тутта плоских графіків. тобто в теорії вузлів, поліном Тютта постає як многочлен Джонса змінного вузла. (тому, можливо, на плоских графах є якийсь зв’язок теорії вузлів з GI.)

див. thms 7,8 у:

Обчислення полінома Тутта графіка та полінома Джонса змінної ланки помірного розміру Sekine, Imai, Tani

ПОЛІНОМІНАЛ І ГРАФИ ЖОНІВ НА ПОВЕРХНІХ ОЛІВЕР Т. ДАСБАХ, ДАВІД ФУТЕР, ЕФСТРАТІЯ КАЛФАГІАННІ, СІАО-СОНСЬКИЙ ЛІН І НІЛЬКИЙ В. СТОЛЬЦФУС

— взн
джерело