Проблеми, які можуть бути використані для показу результатів твердості багаточленного часу

58

При розробці алгоритму нової проблеми, якщо через деякий час я не можу знайти алгоритм поліноміального часу, я можу спробувати довести, що це NP-hard натомість. Якщо мені це вдалося, я пояснив, чому не зміг знайти алгоритм багаточленного часу. Це не те, що я точно знаю, що P! = NP, це просто те, що це найкраще, що можна зробити за допомогою сучасних знань, і дійсно консенсус полягає в тому, що P! = NP.

Аналогічно, скажіть, я знайшов рішення для полінома-часу для якоїсь проблеми, але час роботи - . Після великих зусиль я не досягаю прогресу в покращенні цього. Тому замість цього я можу спробувати довести, що натомість 3SUM-важко. Зазвичай це задовільний стан справ не тому, що я переконаний, що 3SUM дійсно вимагає часу, а тому, що це сучасний стан мистецтва, і багато розумних людей намагалися його покращити, і зазнали невдачі. Тому я не винен, що це найкраще, що я можу зробити. $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

У таких випадках найкраще, що ми можемо зробити, - це результат твердості, замість фактичної нижньої межі, оскільки у нас немає ніяких надлінійних нижніх меж для машин Тьюрінга для проблем з NP.

Чи існує рівномірний набір проблем, який може бути використаний у всі часи роботи поліномів? Наприклад, якщо я хочу довести, що малоймовірно, що якась проблема має алгоритм кращий, ніж , чи є якась проблема X така, що я можу показати, що це X-hard і залишити це при цьому? $O(n^7)$

Оновлення : спочатку це питання задавали сім'ї проблем. Оскільки існує не так багато сімей проблем, і це питання вже отримало чудові приклади окремих важких проблем, я розслаблюю це питання до будь-якої проблеми, яка може бути використана для результатів твердості в поліноміальному часі. Я також додаю щедрості до цього питання, щоб заохотити більше відповідей.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Робін Котарі
джерело

5

Сторінка maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html підсумовує деякі результати щодо нижніх (та верхніх) меж 3SUM та пов’язаних із цим проблем і їх варто прочитати.

— Цуйосі Іто,

2

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

3

Off topic: Робін, Цуйосі, дякую за те, що я представив нижню межу 3SUM: я ніколи раніше про них не чув.

— gphilip

2

@Tsuyoshi: Дякую за інформацію. Це приємне опитування на тему: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf . @gphilip: Нещодавно мене познайомили з цією проблемою деякі обчислювальні геометри. Я думаю, це дуже добре відомо в цій галузі.

— Робін Котарі

Чудове запитання. Чи можете ви уточнити, що ви маєте на увазі під "рівномірним": чи хочете ви обмежити кількість попередньої обробки параметра?

— Андрас Саламон

35

$k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

$k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

$k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

$3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— Райан Вільямс
джерело

4

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

n^{2}

$n^2$

@Ryan: Ти маєш рацію, вони однакові. Хоча, з k-SUM, принаймні, ми маємо докази в слабших моделях, що гадана межа є правильною. Я не знаю жодних аргументів, які дозволяють припустити, що 3-клік не повинен бути вирішеним швидше, ніж матричне множення.

— Робін Котарі

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

14

$\Omega^\star(n^3)$

— Міхай
джерело

2

Як щодо діаметра графіка? А ще краще, зробіть це рішенням проблеми "Діаметр хоча б k?". Це має перевагу в тому, що я не маю очевидних суперлінійних зв'язаних, наскільки я знаю.

— Рафаель

9

$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

Дж. Еріксон, С. Хар-Пелед і Д. М. Гора, Про проблему з найменшою середньою площею, дискретна та обчислювальна геометрія, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

Дж. Еріксон та Р. Сейдель. Кращі нижчі межі для виявлення важливих та сферичних вироджень. Дискретне обчислення. Геом., 13: 41–57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

Дж. Еріксон. Нові нижні межі для проблем з опуклим корпусом у непарних розмірах. SIAM J. Comput., 28: 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Гільгерме Д. да Фонсека
джерело

Мені подобається ця відповідь, але ви могли б викласти? Чому в це вірять?

— Аарон Стерлінг

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Джефф
джерело

7

чи є якісь негеометричні проблеми, які зводяться до проблеми Хопкрофта?

— Суреш Венкат

Я вирішив присвоїти нагороду за цю відповідь, тому що раніше ніколи не чув про цю проблему.

— Робін Котарі