Чи рівний BQP BPP з доступом до абелівського прихованого оракулу підгрупи?

complexity-classes quantum-computing

Насправді досить багато роботи над неабелевими прихованими проблемами підгруп у дослідженнях квантових алгоритмів, тому я, звичайно, сподіваюся, що це не так!

— Джо Фіцсімонс

@Joe: Я вважав, що більша частина роботи над неабелівськими HSP - це групи, які якимось чином «близькі до абелівських» - але, будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся, оскільки я не є експертом у цій галузі. Але якщо це дійсно так, то позитивна відповідь на питання може не суперечити творам, про які ви посилаєтесь.

— Джошуа Грохов

Відповіді:

Як і в багатьох розділеннях класів складності, ми найкраще здогадуємося, що відповідь полягає в тому, що BPP ^ {HSP}! = BQP, але ми можемо лише довести це суворо щодо відносно оракул. Цей розрив спостерігав Скотт Ааронсон у цій публікації в блозі, де він зауважив, що прискорення зварного дерева Ділдз, Клів, Деотто, Фархі, Гутманна і Спілмана не міститься в SZK.

З іншого боку, BPP ^ {HSP} є що міститься в СЗК, по крайней мере , якщо мета полягає в тому, щоб визначити розмір прихованої підгрупи. Сюди входить навіть абелевий HSP, хоча я не впевнений, як саме знайти генераторів довільної прихованої підгрупи в SZK. Причина, за якою ми можемо визначити розмір прихованої підгрупи, полягає в тому, що якщо f: G-> S має приховану підгрупу H, і ми вибираємо g рівномірно з G, то f (g) рівномірно випадковий над набором розміру | G | / | Н |. Зокрема, f (g) має ентропійний журнал | G | - журнал | H |. А оцінка ентропії - у SZK.

— Арам Борона
джерело

Я знав, що десь бачив допис у блозі про це!

— Joe Fitzsimons

Я поняття не маю, як можна було б спростувати таке твердження, але я сумніваюся, що це правда. У нас є інші експоненціальні прискорення квантових алгоритмів, які не покладаються на абелівський HSP. Більше того, невідомо, що Abelian HSP не відповідає BQP.

З іншого боку, проблеми, які, як відомо, є повними BQP, - це такі проблеми, як обчислення інваріантів Вузла, інших багатоваріантних інваріантів, функцій розділів та виконання гамільтонового моделювання. Завдяки оракулу для будь-якої з цих проблем, BPP був би таким же потужним, як BQP.

Нарешті, я впевнений, що можна побудувати розділення оракул між цими двома згаданими вами класами, але це не було б справедливим способом їх порівняння, оскільки один клас може робити квантові запити, а інший не може, тому поділ буде відображати лише цей факт .

— Робін Котарі
джерело

які посилання на проблеми із суперполіноміальними скороченнями, які не покладаються на абелівський HSP?

— Маркос Вільягра

точнішим питанням є "які посилання на проблеми із суперполіноміальними скороченнями, які взагалі не покладаються на HSP?"

— Маркос Вільягра

У квантових алгоритмах зоопарк ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) є великий список алгоритмів та посилань на кожного.

— Робін Котарі

@Joshua: Ці розділення оракул добре, оскільки вони намагаються проявити силу квантових запитів. Дозвольте навести приклад того, що я маю на увазі. Якби був алгоритм багаточастоти для 3SAT, і нехай цей алгоритм називається X. Ясно P ^ X містить NP. Тим не менш, ми можемо побудувати розділення оракул між P ^ X і NP, оскільки в першому випадку до POR може отримати доступ лише машина P, а розділення лише відображає той факт, що недетерміновані запити кращі, ніж детерміновані запити. Так само, навіть якщо BPP ^ AHSP містив BQP, ми можемо розділити їх оракул досить легко.

— Робін Котарі

Дякую за всі відповіді. Зокрема, дякую, що нагадав мені про поліноми Джонса та HOMFLY, які не мають нічого спільного з HSP. Оцінити поліном Джонса точно на п’ятій корінці єдності # P-важко, але наближення їх до деякого дрібного епсилона з деякою ймовірнісною точністю знаходиться в BQP.

— Джейсон

Я маю згоду з Робіном, що це не обов’язково просте спростування, але це майже напевно помилкове. Безпосередня причина, яка викликає сумніви в тому, що квантові обчислення, відібрані після вибору, дорівнюють РР, і це, здавалося б, натякає на те, що статистику буде важко відтворити. У Скотта Ааронсона є стаття в STOC, в якій показано, що існує проблема відношення оракул, яка вирішується в BQP, але не в PH.

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Джо Фіцсімонс
джерело

P ^ {# P} = P ^ {PP}, щоб ви могли використовувати це замість цього.

— Робін Котарі

Так, це було б розумно робити!

— Джо Фіцсімонс