Позитивне топологічне впорядкування

Припустимо, у мене є спрямований ациклічний графік з реальними вагами на його вершинах. Я хочу знайти топологічну впорядкованість DAG, в якій для кожного префікса топологічного впорядкування сума ваг невід’ємна. Або якщо ви віддаєте перевагу теоретико-порядковій термінології, у мене є зважений частковий порядок, і я хочу лінійне розширення таким, щоб кожен префікс мав негативну вагу. Що відомо про цю проблему? Чи є NP-повним чи вирішуваним у поліномічний час?

Ця проблема, схоже, дуже схожа на ПОТРІБНІСТЬ МІНІМІЗУВАННЯ МАКСИМАЛЬНОЇ КУМУЛЯТНОЇ ВАРТІ, проблема [SS7] у Garey & Johnson . А саме:

ІНСТАНЦІЯ: Встановіть завдань, частковий порядок ≺ на T , «вартість» c ( t ) ∈ Z для кожного t ∈ T (якщо c ( t ) < 0 , це може розглядатися як «прибуток»), і a константа K ∈ Z .$T$$\prec$$T$$c(t) \in Z$$t \in T$$c(t) < 0$$K \in Z$

ПИТАННЯ: Чи існує однопроцесорний графік для T, який підкоряється обмеженням пріоритету і має властивість, що для кожної задачі t ∈ T сума витрат на всі завдання t ′ з σ ( t ′ ) ≤ σ ( t ) не більше K ?$\sigma$$T$$t \in T$$t'$$\sigma(t') \leq \sigma(t)$$K$

Я НЕ впевнений , чи залишиться проблема NP-повної , коли фіксована 0. G & J згадкою про те , що проблема залишається NP-повної , якщо з ( т ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } для всіх т Е Т .$K$$c(t) \in \{-1,0,1\}$$t \in T$

Ну, моя відповідь - це моє запитання, з якого виходить, що якби ви могли вирішити цю проблему в P, ви могли також вирішити ще одну відкриту проблему: Позитивне топологічне упорядкування, візьміть 3

Редагувати: Ця проблема також виявилася NP-завершеною, тому ваша проблема є NP-повною вже тоді, коли ваша DAG має лише два рівні, тобто якщо немає спрямованих контурів з двома краями.

Якщо я правильно розумію проблему, я вважаю, що проблема обмеження пріоритетом одного планування машини для мінімізації зваженої суми часу завершення (1 | prec | \ sum wc) може бути зведена до проблеми, яка вас цікавить. У задачі 1 | prec | \ sum wc у нас є n робочих місць, кожна з яких має негативну вагу та час обробки, набір робочих місць, і ми хочемо лінійного розширення завдань таким чином, щоб зважена сума разів завершила роботу мінімізований. Проблеми неповні, хоча ми вважаємо, що час опрацювання кожного завдання дорівнює 1. Чи має це сенс?

Що робити, якщо ми завжди беремо максимальний елемент (у частковому порядку) з найменшою вагою. Після вичерпання елементів ми повертаємо їх у зворотному порядку як вихід.

Ця проблема нагадує мені багато дерев рішень. Я б розглядав такий тип рішення, який намагається завжди вибрати найбільш перспективний шлях, але дивлячись на весь підграф:

Починаючи з вузлів раковини, просувайтесь до джерел, один за одним. Поки ви робите це, надайте кожному краю вагу. Ця вага повинна представляти мінімальну суму, яку вам доведеться "заплатити", або ви "наберетеся", пройшовши підграф, починаючи від вузла, на який вказує край. Припустимо, ми перебуваємо на рівні i + 1 і рухаємось до рівня i. Це я б зробив, щоб призначити вагу для краю, що вказує на вузол рівня i:

1. edge_weight = вказівний_node_weight.
2. Знайдіть край, починаючи з "вказівного вузла" з максимальною вагою. Нехай ця вага буде next_edge_weight.
3. edge_weight + = next_edge_weight

Потім побудуйте порядок наступним чином:

1. Нехай S - межа пошуку, тобто набір вузлів, які слід вибрати з наступного.
2. Виберіть вузол так, щоб (node_weight + maks_edge_weight) був максимальним.
3. Видаліть вузол із графіка і S. Додайте «діти» до вузла S.
4. Якщо графік не порожній, перейдіть до кроку 1.
5. Зупинка.

Ідея полягає в тому, щоб перейти на ті підграграфи, які дадуть якомога більше виграшів, щоб потім нести витрати на підграграфи з негативною вагою пізніше.