Квантові удари в один удар

У статті Квантові випадкові прогулянки потрапляють експоненціально швидше ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Кемпе дає поняття часу потрапляння на квантові прогулянки (у гіперкубі), що не дуже популярне в літературі про квантові прогулянки. Він визначається наступним чином:

One-Shot Quantum затримуючись Час: Дискретний-квант часу ходьби є один постріл час -hitting якщо де - початковий стан, - цільовий стан, а - ймовірність удару. $(T,p)$ $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ $|\Psi_0\rangle$ $|\Psi^f\rangle$ $p>0$

Зазвичай ви хотіли б знати мінімальний такий, що . Неможливо (виправте мене, якщо я помиляюся) визначити поняття середнього часу удару, тому що вам потрібно буде робити вимірювання під час прогулянки, і це зіб'є це класичну прогулянку. Ось чому у нас є поняття про один удар. У цьому ж творі є додаток до квантової маршрутизації (див. Розділ 5 ). $T$ $p>0$

Для того, щоб знати, що прогулянка прибула до цільової вершини, потрібно зробити вимірювання лише на цьому вузлі. Наприклад, у -вимірній гіперкубі з вузлами, якщо ви починаєте з вузла і маєте як цільовий вузол з роботи видно, що з обмеженою ймовірністю помилок, тобто оскільки стає дуже великим. Отже, щоб виявити, що прогулянка прибула на ви зробите вимірювання після кроків. Це експоненціальна швидкість. $n$ $2^n$ $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ $T=O(n)$ $p\to 1$ $n$ $|11\dots11\rangle$ $\Omega(n)$

Запитання:

Щоб використовувати це поняття часу потрапляння на пошук, вам потрібно знати хоча б відстань цільової вершини від початку, оскільки саме так ви знаєте, коли слід застосувати вимірювання. Скажімо, у вас є графік і встановлено як початкову вершину і хочете досягти . Припустимо також, що і . Ну, $G$ $v_0$ $v^f$ $T=O(dist(v_0,v^f))$ $p\geq 1/2$ $T$ очевидно, тому що вам потрібно хоча б стільки кроків, щоб досягти цього. Чи має сенс використовувати цей час для пошуку? Якщо ви знаєте, де знаходиться вузол, немає сенсу шукати, але мати інформацію, на зразок "відстань від початкової вершини", але не знаючи, де саме знаходиться ціль, це поняття про час удару дає щось цікаве (варто вивчити ) алгоритм пошуку?
Чи має додаток для квантової маршрутизації сенс? У статті йдеться про те, що його можна використовувати для маршрутизації пакетів, але мені здається, що ви можете надіслати лише 1 біт, наприклад, прибув він до місця призначення чи ні? Чи можете ви реально надіслати квантовий стан у цій рамці? У статті це питання не розглядається.
Це, можливо, нерозумне запитання, але ось воно йде. Чи можете ви використати це поняття вражаючого часу для побудови "Узагальненого інтерферометра Mach-Zender"?

Мені відомі інші поняття часів удару для квантових прогулянок (як, наприклад, Сегеді чи Амбаїніса ). Мене особливо цікавить цей конкретний час удару.

Оновлення (24.09.2010): Завдяки Джо Фіцсімону на питання 2 та 3 було повністю відповідено. Хоча питання №1 все ще залишається. По-перше, я перепрофілюю питання 2 більш конкретними термінами тепер, коли я закінчив читати статтю, яку Джо рекомендував мені та ще пару (наприклад, див. ArXiv: 0802.1224 ), а потім наведу конкретний приклад того, що я маю на увазі для питання 1.

2 '. Якщо ви надсилаєте конкретне повідомлення (наприклад, послідовність класичних бітів), ви можете скористатися більш складним унітаром, який буде копіювати цю інформацію під час кроків прогулянки. Для надсилання квантових станів потрібно щось більше. Канал спін-ланцюгів використовує лінійний масив кубітів з фіксованою сполученою. Ви можете поставити стан (чистий стан, я не знаю, чи працює він у змішаних станах), який ви хочете передати одним кінцем, і воно переходить на інший кінець з високою точністю згідно числових результатів. Я все ще мушу подумати про це, але у мене є дві ідеї: i) покласти ланцюжок на кожне посилання графіка, або ii) зробити прогулянку, знайти цільовий стан, потім зробити канал між початковим станом і цільовим, а потім надіслати стан. Чи будь-який з цих підходів правдоподібний? Чи працює це зі змішаними станами?

1 '. Розглянемо прогулянку по двовимірній сітці з центром походження з вузлами з кожної сторони довжиною . Встановіть початковий стан на і цільовий стан на де . Оскільки хода симетрична, ми маємо той самий час удару та ймовірність потрапляння для будь-якої цілі десь на межі сітки, як показано нижче. $n$ $\sqrt{n}$ $v_0=(0,0)$ $v^f=(\sqrt{n}-1,a)$ $a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

alt текст

Тому у нас є така інформація, що . Ми можемо використовувати це, щоб знати, коли робити вимірювання. Чи можна використати час пошуку однієї стрілки для пошуку цієї сітки? Тут вам потрібна ця інформація. Відкрита проблема пошуку сітки полягає в тому, що ми знаємо, що є нижньою межею для пошуку, а для сіток найкраща верхня межа - . Або ми не в змозі знайти кращий алгоритм, або методи доведення нижчих меж, коли ви використовуєте їх у сітках, дають слабку нижню межу. Чи можете ви показати, що єдиний спосіб піти нижче - це "інформація", як той, що йдеться у питанні? Це означало б спосіб довести нижню межу для сіток. Чи має це сенс? $dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n\log n})$ $\sqrt{n\log n}$

— Маркос Вільягра
джерело

Відповіді:

Я не так знайомий з цим документом, але спробую дати грубу відповідь на кожне ваше запитання після побіжної роботи.

Алгоритм Гроувера справді можна розглядати з цим поняттям часу враження. Вам потрібно вирішити, коли вимірювати систему, і хоча Т є постійним для всіх результатів, все одно важливо прорахувати. Тут T, звичайно, не (що в даному випадку дорівнює 1), а скоріше , тож ваше припущення, що тут недійсний. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ $O(\sqrt{n})$ $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
Я припускаю, що автор бере цілий пакет, щоб зробити випадкову прогулянку. Очевидно, що це вимагає дещо складнішого унітарного, але я насправді не бачу проблеми. Крім того, у Burgarth і Bose є дуже приємна схема кодування інформації через однакові графіки, яка також спрацювала, якщо ви просто заміните їхні 1d-ланцюги на мережу за вибором ( quant-ph / 0406112 ).
Що ж, вам не дуже потрібне це поняття про час. Гіперкуби мають ідеальний стан передачі (див., Наприклад, quant-ph / 0309131 та Quant-ph / 0411020 ), тому ви можете розглядати транспорт на гіперкубі як інтерферометр із інтерферометром Mach-Zender, відповідним 2d випадку.

ОНОВЛЕННЯ: (Щоб відповісти на оновлене запитання щодо випадкових прогулянок по сітці чи інших ґрат)

Один із підходів до проблеми вимірювання, яку ви виділяєте з проблемою просторового пошуку, - це просто зробити вимірювання на кожному кроці часу, щоб воно повертало 1, якщо вершина, на якій зараз знаходиться ходок (скажімо ), дорівнює а поточний крок часу t - час удару для цієї вершини. Це повинно уникати проблеми згортання хвильової функції, оскільки вимірювання проводиться для кожної вершини лише після досягнення часу удару, і вона лише реєструє згортання на місце, якщо це місце є правильним результатом. $v_t$ $v^f$

— Джо Фіцсімонс
джерело

Джо, дякую за вашу відповідь. Приблизно 1, проблема з вимірюванням полягає в тому, що вам потрібно знати, наскільки далеко знаходиться ціль від початкової точки, щоб використовувати її. Наприклад, для двовимірної сітки з вузлами скажімо, що ви починаєте в центрі, а ціль знаходиться десь на межі сітки, і ми це знаємо. Тож відстань від центру дорівнює , і це також ваш час удару, якщо хиткість удару має обмежену помилку. Чи можемо ми припустити, що ми можемо мати такі знання? Тому що для Гровера ви займаєтесь повним сліпим пошуком, і це здається більш реальним

n

$n$

Ω (n^{1 / d})

$\Omega(n^{1/d})$

— Marcos Villagra

Звичайно, але вам не обов’язково враховувати звичайні сітки. Алгоритм Гровера відповідав би центральному вузлу, безпосередньо з'єднаному з усіма іншими вузлами, щоб відстань завжди було фіксовано. Крім того, існує ще одна проблема, що час враження буде визначений не для всіх вузлів. У деяких випадках ймовірність просто ніколи не досягне порогового значення. Я можу помилитися, але я вважаю, що для лінійного ланцюга максимальне перекриття на кожній ділянці відпадає як щось на зразок для ланцюгів зв'язаних XXZ.

∣ v_{0} - v^{f} ∣^{- \frac{1}{2}}

$\mid v_0 - v^f \mid^{-\frac{1}{2}}$

— Джо Фіцсімонс

Розклад перекриття сильно залежить від роботи монети вашої прогулянки. Якщо ви вибрали оператора дифузії Гровера, при попаданні на цільовий вузол перекриття є високим, а через кілька кроків воно зменшується як для ліній та графіків сітки.

O (t^{- 1})

$O(t^{-1})$

— Маркос Вільягра

Так, саме. Я дала цифру лише для однієї конкретної системи. Я просто хотів підкреслити, що не завжди можливо досягти постійної ймовірності враження незалежно від кількості вершин.

— Joe Fitzsimons

Але повертаючись до запитання про пошук, я наводив приклад на сітках, тому що думав про "просторовий пошук по сітках" (quant-ph / 0303041). Але все ж мені здається, що для того, щоб зробити вимірювання, щоб побачити, чи потрапив ти в ціль, потрібно зробити це на підпросторі, що містить ціль. Як я собі це уявляю, вам потрібен пристрій у цьому підпросторі, який постійно перевіряє, прибув прогулянка чи ні. Моя проблема полягає в тому, що, здається, вам завжди потрібно знати більш-менш, де ваша ціль. (продовження)

— Маркос Віллагра

Що стосується питання 1, то відомість відстані між невідомою цільовою вершиною та деякою відомою вершиною походження на гіперкубі може допомогти процесу пошуку. Однак величина відстані сама визначає, наскільки корисна ця інформація.

Типові алгоритми квантової ходьби, як правило, є варіаціями / наближеннями пошуку Гровера: вони передбачають приблизне обертання вектора стану у 2-денному підпросторі загального простору Гільберта.

Ви можете використовувати ці алгоритми, щоб ефективно підготувати приблизно рівномірне розташування всіх вершин на заданій відстані від початку. Тоді ви можете шукати цільову вершину всередині цієї суперпозиції, використовуючи квантовий або класичний (Монте-Карло) пошук: Для класичного пошуку просто підготуйте суперпозицію і виміряйте її в основі вершин і повторіть, поки не знайдете ціль. Для квантового пошуку процедура підготовки суперпозиції (та її зворотна) стає підпрограмою, яка замінює перетворення Адамара в ітерації Гровера.

Корисність цього залежить від величини відстані: у -вимірному гіперкубі кількість вершин на відстані від заданого початку є двочленним коефіцієнтом . Отже, більшість вершин ( ) знаходяться на відстані : в той час як ви можете ефективно підготувати суперпозицію цих вершин, пошук цілі всередині нього все ще займає експоненціальний час. $n$ $d$ $\binom{n}{d}$ $\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$ $\approx n/2$

— Антоніо Валеріо Міцелі-Бароне
джерело