За яких обставин алгоритми

Припустимо, що для кожного $\epsilon > 0$ існує машина Тюрінга $M_{\epsilon}$ яка визначає мову $L$ в часі $O(n^{a + \epsilon})$ . Чи існує єдиний алгоритм, який вирішує $L$ за часом $O(n^{a + o(1)})$ ? (Тут термін $o(1)$ вимірюється у вигляді $n$ , вхідної довжини.)

Чи має значення зміна, якщо алгоритми $M_{\epsilon}$ обчислювані, або ефективно обчислювані з точки зору $\epsilon$ ?

Мотивація: у багатьох доказах простіше побудувати алгоритми часу ніж алгоритм обмеження O ( n a + o ( 1 ) ) . Зокрема, вам потрібно зв'язати постійний член в O ( n a + ϵ ), щоб перейти до межі O ( n a + o ( 1 ) ) . Було б добре, якщо є якийсь загальний результат, на який можна попросити перейти до межі безпосередньо.$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a + o(1)})$$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a+o(1)})$

Питання подібне до питань про конструктивне існування межі послідовності (конструктивних) об'єктів. Зазвичай, якщо ви можете рівномірно побудувати ці об'єкти (тут ) досить ефективно, то ви можете конструктивно показати існування межі.$M\epsilon$

Наприклад, припустимо, що у нас є TM який виконує M | k | - 1 на х і час його виконання дорівнює O ( n a + | k | - 1 ) + O ( | k | ) (тут межі також рівномірні, наприклад, щось на зразок O ( 2 k . N a + | k | - 1$N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$не працювало б). Тоді ми можемо поєднати цей рівномірний тренажер з функцією для отримання машини N ( x , x ), яка працює в часі O ( n a + o ( 1 ) ) .$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

PS: є дещо неоднозначним через вкладення асимптотичних позначень, я трактую це як n a + o ( 1 ) . Крім того, ми повинні бути не дуже маленьким, наприклад , щонайменше , 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Можна використовувати універсальний алгоритм пошуку Левіна. Припустимо, що ви можете якось перерахувати послідовність алгоритмів вирішує L , кожен працює за часом C k n a + 1 / k . Алгоритм Левіна працює у часі T ( n ) ≤ D k n a + 1 / k для кожного k , де D k - константа залежно від C k . Отже для кожного k , τ ( n ) $A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$$T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ Даноϵ>0, виберітьk=⌈2/ϵ⌉, і нехайN=⌈D 2 / ϵ k ⌉. Тоді дляn≥N,τ(n)≤ϵ. Томуτ(n)→0, і отримуємо, що алгоритм Левіна працює в часіna+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$