Чи існує природна проблема у природних, яка не є повною NP?

Будь-яке натуральне число може розглядатися як бітова послідовність, тому введення натурального числа є таким же, як і введення послідовності 0-1, тому проблеми з природними входами, повні NP, очевидно, існують. Але чи існують якісь природні проблеми, тобто такі, що не використовують кодування та спеціальну інтерпретацію цифр? Наприклад, "Is na prime?" є такою природною проблемою, але ця є в P. Або "Хто виграє у грі Nim з купи розміром 3, 5, n, n?" це ще одна проблема, яку я вважаю природною, але ми також знаємо, що це є в П. Мене також цікавлять інші класи складності замість NP.

Оновлення: Як вказував Еміль Йеребек, даючи $a,b,c\in \mathbb N,$ щоб визначити, чи $ax^2+by-c=0$ рішення над природними, NP-повне. Це саме те, що я мав на увазі як природне, за винятком того, що тут вхід - це три числа, а не одне.

Оновлення 2: І після більш ніж чотирьох років очікування Ден Брамлев дав "краще" рішення - зауважте, що воно все ще не завершено через рандомізоване скорочення.

Ця проблема має варіацію з одним цілим числовим входом:

Чи має є дільник строго між двома найбільшими головними факторами?$n$

Ідея полягає у використанні одного і того ж рандомізованого зменшення від сукупності підмножини, описаного у верхній відповіді на пов'язане питання, але із цільовим діапазоном, закодованим як два найбільші праймери, а не окремо. Визначення має природний вигляд, хоча це лише функція сполучення в маскуванні.

Ось ще один варіант тієї ж проблеми із аналогічним скороченням від проблеми з розділами:

Чи добуток двох цілих чисел, які відрізняються менше ?$n$$n^{\frac{1}{4}}$

В обох скороченнях ми «маскуємо» набір цілих чисел, знаходячи прилеглі праймери та беручи їх добуток. Якщо це можливо зробити в поліноміальний час, то ці проблеми є NP-завершеними.

Я думаю, що ілюмінаційно дивитись на ці приклади разом із теоремою Махані : якщо і ми можемо знайти праймери поблизу, то ці множини не є рідкісними. Задовольнити отримання чисто арифметичного твердження з теорії складності (навіть якщо це лише думка і, ймовірно, легко піддається доказуванню іншим способом).$P \ne NP$

Виходячи з дискусії, я перекладу це як відповідь.

Як довели Мандерс та Адлеман , наступна проблема є NP-повною: задавши натуральні числа , визначте, чи існує натуральне число таким, що .$a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

Проблема може бути еквівалентно сформульована таким чином : з урахуванням , визначити , є чи квадратична має рішення .$b,c\in\mathbb N$$x^2+by-c=0$$x,y\in\mathbb N$

(Оригінальний документ констатує проблему з , але не важко помітити, що можна звести її до випадку )$ax^2+by-c$$a=1$

Ось -повна проблема з одним натуральним числом як вхідним.$\text{NEXP}$

Проблема полягає в обклеюванні сітки фіксованим набором плиток та обмежень на сусідніх плитках та плитках на межі. Все це є частиною конкретизації проблеми; це не частина вводу. Вхід - лише число . Проблема полягає в -повному для вибору правил керування плиткою, як показано на рисунку$n \times n$$n$$\text{NEXP}$

D. Gottesman, S. Irani, "Квантова та класична складність трансляційно-інваріантних плиткових та гамільтонових проблем", Proc. 50-й щорічний симп. з основ інформатики, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Також arXiv: 0905.2419 .

Проблема визначена на сторінці 5 версії arxiv.

Крім того, вони також визначають аналогічну проблему, що є -повне, що є квантовим аналогом обмеженої помилки . (Класичним аналогом обмеженої помилки є .)$\text{QMA}_\text{EXP}$$\text{NEXP}$$\text{NEXP}$$\text{MA}_\text{EXP}$

Я думаю, що за допомогою одного з обмежених часом варіантів складності Колмогорова ви можете побудувати задачу, яка використовує лише двійкове представлення числа і (я думаю) навряд чи буде в ; неофіційно це рішуча версія проблеми "Чи стискається "?$\mathsf{P}$$n$

Проблема: Враховуючи , чи існує машина Тюрінга така, що і на порожній стрічці виводить менш ніж кроки, де - довжина двійкового зображення$n$$M$$|M| < l$$M$$n$$l^2$$l = \lceil \log{n} \rceil$$n$

Це чітко в , оскільки задані і просто моделюють для кроків і, якщо він зупиняється, порівнюють результат з .$\mathsf{NP}$$n$$M$$M$$l^2$$n$

Наш документ FOCS'17 про коротку арифметику пресбургера є прикладом "природної" проблеми, яка є NP-c, і використовує постійне число цілих чисел на вході, скажімо, . Він відрізняється від Мандерса-Адлемана тим, що обмеженнями є всі нерівності. Перегляньте допис у блозі Гіла Калай за деякими відомостями. $C$$C< 220$

Як щодо проблеми СТАРТІЯ ?