Які наслідки ?

46

Ми знаємо, що і що , де . Ми також знаємо, що тому, що останній має повні проблеми в логарифмічному просторі багато-один скорочення, а перший - ні (через теорему про ієрархію простору). Щоб зрозуміти зв’язок між та , може допомогти спочатку зрозуміти взаємозв'язок між та . $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}^2$ $\mathsf{P}$

Які наслідки ? $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$

Як щодо сильнішого для , або слабшого для ? $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ $k>2$ $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\epsilon > 0$

— argentpepper
джерело

4

@OrMeir Нещодавно я додав пояснення цього факту до статті Wikipedia для polyL .

— argentpepper

13

Я думаю, що наступне є очевидним наслідком, і особливо не дивно: означатиме, що , оскільки в іншому випадку це буде суперечити ієрархії простору .

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

— Sajin Koroth

12

Акуратне питання! Я думаю, що це, безумовно, коштує щедрості. Btw, ось просте спостереження, якщо

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$ , то

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$ . Тому у нас є більш ефективний алгоритм для CNF-SAT і ми спростовуємо ETH (Експоненціальна гіпотеза часу).

— Майкл Вехар

3

Після коментаря @ MichaelWehar, наслідки випливають із стандартного аргументу прокладки, який поширюється на більш слабкі гіпотези: якщо

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$ знаходиться в

P

$P$ , то будь-яка проблема, яку можна вирішити в лінійному просторі (включаючи проблему задоволеності), може вирішити вчасно

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$ .

— argentpepper

3

@SajinKoroth: Я думаю, що на ваш коментар, а також на відповідь Майкла Вехара (та подальшої роботи аргенпепера) повинні бути відповіді ...

— Джошуа Грохов

26

Очевидним наслідком є наступне: означатиме і, отже, . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

За теоремою про ієрархію простору . Якщо то . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Саджин Корот
джерело

Невелика виноска: якщо , то ми маємо або .

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Майкл Вехар

27

$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ б спростувати експонентну гіпотезу часу .

Якщо тоді за допомогою аргументу прокладки . Це означає, що проблему задоволеності можна вирішити за кроки, спростовуючи гіпотезу експоненціального часу. $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

Більш загально, для має на увазі . $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Ця відповідь розширена з коментаря @MichaelWehar.)

— argentpepper
джерело

Дякуємо за розширення коментаря! Я ціную це. :)

— Michael Wehar

1

Крім того, остання гіпотеза також передбачає, що знаходиться в DSPACE ( ) DTIME ( ).

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Майкл Вехар

8

Груповий ізоморфізм (з групами, заданими у вигляді таблиць множення) був би у П. Ліптона, Снайдера, і Зальцштайн показав, що ця проблема є в , але вона все ще відкрита, чи є вона в P. Найкраща верхня межа поточного струму є -час, і оскільки воно зводиться до ізоморфізму графа, стоїть як значна перешкода для введення ізо-графа в P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Мене здивує, які ще природні та важливі проблеми це стосувалося б: тобто в але з їх найвідомішим часом квазіполіномом. $\mathsf{L}^2$

— Джошуа Грохов
джерело

1

Більш конкретно, більш загальна проблема ізоморфізму квазігрупи полягає в , що є підкласом .

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

Також проблема ранжування групи (з огляду на кінцеву групу G як таблицю множення та ціле число k , чи G має генеруючий набір кардинальності k ?) Також має цю властивість. Алгоритм - це лише пошук по підмножинах G кардинальності k, але використовує два важливі факти: (1) кожна кінцева група має генеруючий набір логарифмічного розміру і (2) членство в підгрупі знаходиться в , що дорівнює .

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

Претензія: Якщо для деякого , то і . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Припустимо, що для деякого . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

З " Межі пам'яті для розпізнавання без контексту та контекстно-чутливих мов " ми знаємо, що . За теоремою просторової ієрархії ми знаємо, що . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Таким чином, ми отримуємо . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Також за теоремою Савича ми знаємо, що . Таким чином, ми отримуємо . $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Майкл Вехар
джерело