Розуміння логіки найменш фіксованої точки

Щоб краще зрозуміти документ, я намагаюся коротко зрозуміти логіку найменш фіксованої точки. Є кілька моментів, де я застряг.

Якщо $G = (V,E)$ є графіком і

є оператором на бінарне відношення $P$. Я не розумію, чому найменш фіксована точка$P^*$ з $P$ - це перехідне закриття $E$. Приклад взято з теорії кінцевих моделей та її застосувань (стор. 60).

Під час розширення логіки першого порядку з найменш зафіксованим оператором покажчика я не розумію, чому символ відношення $S_i$має бути позитивним у формулі. Позитивний означає, що кожне виникнення$S_i$ у формулі знаходиться в межах парної кількості символів заперечення.

Хтось має уявлення про те, що добре читати, щоб інтуїтивно зрозуміти найменш зафіксовану логіку вказівника та його синтаксис та семантику?

Якщо у вас виникають проблеми з концепцією найменшої фіксованої точки, я б рекомендував витратити певний час, щоб отримати досвід більш загальної теорії порядку.

Деві та Прістлі, вступ до ґрат і порядку - це добре вступ.

Щоб зрозуміти, чому транзитивне закриття є найменш фіксованою точкою, уявіть, як будувати закриття з порожнього набору, застосовуючи логічну формулу покроково. Найменш фіксована точка настає, коли ви не можете додати нові ребра за допомогою формули.

Вимога, щоб формула була позитивною, гарантує, що процес є монотонним, тобто він зростає на кожному кроці. Якщо у вас була негативна підформула, у вас може бути випадок, коли на деяких кроках набір ребер зменшиться, і це може призвести до невпинного коливання вгору і вниз, а не до зближення з LFP.

Розглянемо булева алгебра, утворена з силового набору скінченного набору $S$, упорядкована включенням набору Тепер розглянемо оператора$P$ визначені

Ясно $P$ є позитивним оператором.

1. Покажіть, що немає фіксованих точок $\mu P$ такий як $P(\mu P) = \mu P$. Як результат, ви можете зробити висновок про це$\mu X.\;P(X)$ не може бути чітко визначеним.

2. Доведіть для себе теорему Кнастера-Тарксі. Тобто, якщо у вас є повна решітка$L$, і монотонна функція $f : L \to L$, то множина нерухомих точок $f$утворює повну решітку. (Як наслідок,$f$ Це найменше і найбільшою фіксованою точкою.) Цей доказ дуже короткий, але це трохи чухає голову, коли ви це побачите, і монотонність $f$ є критичним для аргументу.

3. Доведіть для себе, що будь-який оператор, визначений виразом із вільною змінною $X$що відбувається лише позитивно, є монотонним. Тож позитивна поява - це синтаксична умова, достатня для забезпечення монотонності.

Я вважаю, що немає ніякої заміни робити ці докази для себе, щоб дійсно інтерналізувати інтуїцію.

це дуже стара публікація, тому, можливо, ви вже стикалися з відповіддю за бажанням. Оскільки я вивчав ФО (ЛФП) останні кілька місяців. Я розумію потрібні вам відповіді.

Щоб відповісти на вимогу позитивності, потреба випливає з того, що тестування того, чи формула фіксує монотонний оператор чи ні, не можна визначити і в кінцевих, і в нескінченних моделях. Що я маю на увазі під формулою, що фіксує монотонний оператор? Припустимо, виписуєте FO$[\sigma$] формула зі змінною вільного другого порядку скажімо $\phi(\vec{x},X)$, де $|\vec{x}|=ar(X)$, тоді ми можемо визначити відповідного оператора $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ де ar (X) - аритність змінної другого порядку, а A - область області $\sigma$-структура $\mathbb{A}$ і $\mathcal{P}(Z)$ - множина потужності множини Z. І $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. Якщо цей оператор монотонний, то ми можемо легко зафіксувати фіксовану точку як в кінцевій, так і в нескінченній структурі, слідуючи теоремі про нерухому точку Кенстера, згаданій у вищезазначених відповідях. Але проблема полягає в тому, щоб перевірити, чи формула, виписана з форми, як описано вище, не кодирує монотонного оператора чи ні, тому нам потрібно отримати наступне найкраще. Позитивність у вільній змінній другого порядку забезпечує вимогу монотонності, її стандартну структурну індукцію для підтвердження цього явища. Питання, чи достатньо?

На це у мене поки немає твердої відповіді, оскільки я все ще читаю. Я можу вказати на документи на цьому фронті. Принаймні той, що пояснює ідеї, про які я згадував тут, - із статті " Монотон проти позитиву" - Айтай, Гуревич. Крім того, він згадує ще одне розширення з фіксованою точкою логіки першого порядку Ґуревичем та Шелою, яке заявляє, що оператор фіксованої точки при застосуванні до позитивної формули не втрачає виразної сили в порівнянні із застосуванням, що робиться за довільними монотонними формулами.