Нерозв'язність задач, повних NP, як принципу фізики?

Мене завжди інтригує відсутність чисельних доказів експериментальної математики для або проти питання П проти НП. Хоча в гіпотезі Рімана є деякі підтверджуючі докази чисельної перевірки, я не знаю аналогічних доказів щодо питання Р проти НП.

Крім того, мені невідомі будь-які прямі наслідки фізичного світу існування нерозв'язних проблем (або існування нерозбірливих функцій). Зміна білка - це проблема, яка не є повною для NP, але, схоже, це відбувається дуже ефективно в біологічних системах. Скотт Ааронсон запропонував використовувати припущення про твердість NP як принцип фізики. Він неофіційно заявляє про припущення, що " неповні проблеми, пов'язані з NP, є нерозв'язними у фізичному світі ".

Припускаючи припущення твердості NP, чому важко розробити науковий експеримент, який вирішує, поважає наш Всесвіт припущення твердості NP чи ні?

Також, чи є відомі числові докази експериментальної математики за чи проти ?$P\ne NP$

EDIT: Ось приємна презентація Скотта Аронсона під назвою " Обчислювальна нездатність як закон фізики"

Я не думаю, що той факт, що - це асимптотичний вислів, - це автоматичний "прорив". Можна зробити конкретні гіпотези, які відповідають нашим знанням, але сильніші за P проти NP, такі як "Потрібно принаймні 2 n / 10 кроків, щоб знайти задовольняюче завдання для випадкової n змінної формули 10SAT" (з "випадковим", наприклад, посаджена модель Achlioptas Coja-Oghlan$P\neq NP$$2^{n/10}$ , це лише приклад - я не знаю, наскільки розумні конкретні цифри назовні).

Така гіпотеза може призвести до спростовного прогнозу, що будь-яка природна система, яка намагатиметься вирішити це, вийде з ладу (наприклад, застрягне в локальних мінімумах), що можна перевірити експериментами. Дійсно, я не фахівець у цьому, але, наскільки мені відомо, як зазначив Джо Фіцсімонс, такі прогнози підтверджувалися за допомогою обчислень Adiabatic. (Скотт Аронсон також проводив розважальні експерименти з мильними бульбашками.)

Звичайно, ви також можете побачити деякі "емпіричні докази" для у тому, що люди намагаються вирішити проблеми з оптимізацією, криптоаналізувати шифрування тощо. І досі не мали успіху ...$P \neq NP$

Реальний світ є об'єктом постійного розміру, тому немає можливості виключити процедуру реального поліноміального часу для вирішення повних задач NP, які мають величезну константу, приховану у великій нотації O.

У будь-якому випадку, крім цього моменту, припущення - це вислів форми "немає реальної процедури, яка це робить ..." Як можна створити експеримент для спростування такого твердження? Якщо припущення було чимось на кшталт "Якщо ми робимо X у реальному світі, Y трапляється", це можна спростувати, виконавши X. Заява, що ми хочемо, стверджує відсутність чогось, тому я не можу побачити експеримент вирішуючи це. Це може бути показано як фізичний наслідок законів фізики, але це навіть важче, ніж Р проти НП, оскільки машина Тьюрінга наслідує закони фізики. Оскільки ми не були успішними, навіть показавши, що ТМ не можуть вирішити задачі, повні з NP, у поліноміальний час, здається абсолютно безнадійним показати, що жоден фізичний процес не може вирішити завдання, повні з NP, у поліноміальний час.

Дійсно, фізична версія P не дорівнює NP, а саме те, що жодна природна фізична система не може вирішити повну задачу NP дуже цікава. Є кілька проблем

1) Прогрема здається практично "ортогональною" як для експериментальної, так і для теоретичної фізики. Тож це не дає справді корисних уявлень з фізики (поки що).

Є кілька приємних аргументів, як можна вивести з цієї фізичної версії гіпотези деякі уявлення про фізику, але ці аргументи досить «м'які» і мають лазівки. (І такі аргументи, ймовірно, можуть бути проблематичними, оскільки вони покладаються на дуже складні математичні припущення, такі як NP, що не дорівнює P, і NP не включаються до BQP, що ми не розуміємо.)

(Аналогічний коментар стосується "тези про церковну теорію".)

2) Хоча фізичний NP, не рівний P, є більш широкою гіпотезою, ніж математичний NP, не рівний P, ми також можемо вважати його більш обмеженим, оскільки алгоритми, які зустрічаються в природі (і навіть створені людиною алгоритми), здаються, дуже обмежений клас усіх теоретично можливих алгоритмів. Буде дуже цікаво зрозуміти такі обмеження формально, але у будь-якому випадку будь-який експресивний "доказ", запропонований у питанні, стосуватиметься лише цих обмежених класів.

3) У науковому моделюванні обчислювальна складність являє собою якусь матерію другого порядку, де спочатку ми хотіли б моделювати природні явища і побачити, що можна передбачити на основі моделі (відклавши теорію складності обчислювальної техніки). Надання занадто великої ваги проблемам обчислювальної складності на етапі моделювання не здається результативним. У багатьох випадках модель обчислювально неможлива для початку, але вона все ще може бути реальною для природних проблем або корисною для розуміння явищ.

4) Я погоджуюсь з Боазом, що асимптотичне питання не є необхідним «порушником угод». Все ж це досить серйозна справа, коли мова йде про актуальність питань обчислювальної складності для моделювання реального життя.

Якщо ви дозволите мені узагальнити крихітний шматочок ... Давайте розширимо питання і запитаємо інші припущення щодо твердості-теоретичної твердості та їх наслідків для наукових експериментів. (Я зупинюсь на фізиці.) Нещодавно була досить успішна програма, щоб спробувати зрозуміти набір допустимих кореляцій між двома вимірювальними приладами, які, хоча і просторово розділені, виконують вимірювання у (можливо, не локально корельованій) фізичній системі ( 1). У рамках цієї та подібних налаштувань можна використовувати припущення про твердість складності зв'язку для отримання чітких меж, які відтворюють допустимі кореляції квантової механіки.

Щоб надати вам аромат, дозвольте мені описати більш ранні результати в цьому плані. Попеску-Рорліхі коробки (або PR коробка) являє собою уявне пристрій , яке відтворює кореляцію між вимірювальними пристроями , які в відповідно до принципу , що ніякої інформації не може рухатися швидше , ніж світло ( так званий принципом без сигналізації ).

С. Попеску та Д. Рорліх, Квантова нелокальність як аксіома, Знайдено. Фіз. 24, 379–385 (1994).

Ми можемо розглядати це як приклад складності спілкування, який має певний вплив. Ідея, що два спостерігачі повинні спілкуватися неявно, передбачає певне обмеження, яке фізик не назвав би сигналізацією. Звертаючись до цієї ідеї, які типи кореляцій можливі між двома вимірювальними приладами, обмеженими відсутністю сигналізації? Це дослідження Popescu & Rohrlich. Вони показали, що цей набір допустимих кореляцій суворо більший, ніж дозволений квантовою механікою, який у свою чергу суворо більший, ніж дозволений класичною фізикою.

Потім постає запитання, що робить набір квантових кореляцій «правильним» набором кореляцій, а не тим, дозволений без сигналізації?

Щоб вирішити це питання, давайте зробимо припущення про голі кістки, що існують функції, для яких складність зв’язку нетривіальна. Тут нетривіальна річ просто означає, що для спільного обчислення булевої функції f (x, y) потрібно більше, ніж просто один біт (2). Що дивно, навіть цього дуже слабкого теоретико-теоретичного припущення достатньо для обмеження простору допустимих кореляцій.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp, F. Unger, Ліміт нелокальності в будь-якому світі, в якому складність спілкування не є тривіальною, Фіз. Преподобний Лет. 96, 250401 (2006).

Зауважимо, що слабший результат був уже доведений у докторантурі. теза Віма ван Дам. Що Brassard та ін. Доведення полягає в тому, що наявність доступу до PR-скринь, навіть тих, які несправні та створюють правильну кореляцію лише деякий час, дає змогу повністю тривілізувати складність спілкування. У цьому світі кожну дво змінну булеву функцію можна спільно обчислити, передаючи лише один біт. Це здається досить абсурдним, тому давайте розглянемо це навпаки. Ми можемо сприймати нетривіальність складності зв'язку як аксіому, і це дозволяє нам вивести той факт, що в наших експериментах ми не спостерігаємо певних сильніших ніж квантових кореляцій.

Ця програма, що використовує складність зв'язку, була напрочуд успішною, можливо, набагато більше, ніж відповідна для обчислювальної складності. Папери вище справді є лише вершиною айсберга. Хорошим місцем для подальшого читання є цей огляд:

Х. Бурман, Р. Клів, С. Массар та Р. де Вольф, Нелояльність і складність спілкування, Преподобний Мод. Фіз. 82, 665–698 (2010).

або прямий пошук літератури з двох інших робіт, які я цитував.

Це також викликає цікаве питання про те, чому налаштування зв'язку здається набагато придатнішим до аналізу, ніж параметри обчислень. Можливо, це може бути предметом іншого розміщеного питання на cstory.

(1) Візьмемо для прикладу експерименти, що вимірюють щось, відоме як нерівність ЧШ (тип нерівності Белла ), де фізична система складається з двох заплутаних фотонів, а вимірювання поляризаційні вимірювання окремих фотонів у двох просторово віддалених місцях.

(2) Цей єдиний біт необхідний, коли f (x, y) насправді залежить від x і y, оскільки надсилання нульових бітів не порушило б сигналізацію.

Також, чи є відомі числові докази експериментальної математики за чи проти P ≠ N P$P \neq NP$

Не наскільки я знаю. Однак можна отримати численні докази проти$NP \subseteq P/poly$

Зараз знайти мінімальний ланцюг для SAT до довжини 10 наразі дуже складно. Однак деякі ідеї теорії геометричної складності дозволяють отримати аналогічні результати при більш ефективному (я думаю, лише експоненційний замість подвійно-експоненціального) обчислювального пошуку. Однією з припущень Малмулі є те, що насправді цей пошук можна здійснити в поліноміальний час, але ми далеко не доводимо нічого близького до цього.

Визначення "поліноміального часу" та "експоненціального часу" описують обмежуючу поведінку часу виконання, оскільки розмір введення зростає до нескінченності. З іншого боку, будь-який фізичний експеримент обов'язково враховує лише введення обмеженого розміру. Таким чином, немає абсолютно ніякого способу експериментально визначити, чи заданий алгоритм працює в поліноміальний час, експоненціальний час чи щось інше.

Або іншими словами: те, що сказав Робін.

Дозвольте почати з того, що я повністю згоден з Робіном. Що стосується згортання білка, то тут є невелика проблема. Як і у всіх подібних системах, згортання білка може застрягти в локальних мінімумах, що, здається, ви нехтуєте. Більш загальною проблемою є просто пошук основного стану деяких гамільтонів. Насправді, навіть якщо ми розглядаємо лише спінові (тобто кубіти), ця проблема є повною для QMA.

Природні гамільтоніани трохи м'якші, ніж деякі штучні, які використовуються для доказу повноти QMA (які, як правило, не відображають природні взаємодії), але навіть якщо ми обмежуємось природними взаємодіями двох тіл у простих системах, результат все одно є NP -повна проблема. Дійсно, це лягає в основу підходу, який намагався вирішити проблеми НП за допомогою адіабатичних квантових обчислень. На жаль, схоже, що цей підхід не буде працювати для проблем, що не стосуються NP, через досить технічне питання, пов'язане зі структурою рівня енергії. Це, однак, призводить до цікавого наслідку існуючих проблем в рамках НП, які за своєю природою не вирішуються ефективно (під якими я маю на увазі фізичні процеси). Це означає, що існують системи, які не можуть ефективно охолонути. Інакше кажучи,

Дослідження реальних ситуацій з обчислювальної точки зору є досить важким через безперервно-дискретний "стрибок". Хоча всі події в реальному світі (нібито) проводяться в безперервному часі, моделі, які ми зазвичай використовуємо, реалізуються в дискретний час. Тому дуже складно визначити, наскільки маленьким чи великим повинен бути крок, яким повинен бути розмір проблеми тощо.

Я написав резюме до статті Ааронсона на цю тему, проте це не англійською мовою. Дивіться оригінал паперу .

Особисто я чув про інший приклад проблеми реального світу, змодельованої на обчислення. У статті йдеться про моделі систем управління, засновані на зграї птахів. Виявляється, хоча в реальному житті для птахів це забирає невеликий час, це нездійсненно ("вежа в 2 секунди"), коли їх аналізують як обчислювальну проблему. Докладніше дивіться у статті Бернарда Шазел .

[Редагувати: Роз'яснено частину про папір Chazelle. Дякуємо, що надали точну інформацію.]

Я все ще голосую за проблему n-тіла, як приклад непридатності NP. Панове, які посилаються на числові рішення, забувають, що числовий розчин є рекурсивною моделлю, а не принциповим рішенням так само, як аналітичний розчин. Аналітичне рішення Qui Dong Wang непереборне. Білки, які можуть складатися, і планети, які можуть орбітувати в системах більш ніж двох тіл, - це фізичні системи, а не алгоритмічні рішення такого типу, на які стосується проблема P-NP.

Я також повинен оцінити труднощі Chazisop з рішеннями постійно. Якщо або час, чи простір є безперервним, потенційні простори станів стають незлічуваними (алеф один).

Ми не можемо ефективно вирішити це $n$- проблема не в тілі, але, здається, ці планети для скелястого мозку справляються чудово.