Алгоритми наближення максимального незалежного набору на спеціальних класах графіків

23

Ми знаємо, що Максимальний незалежний набір (MIS) важко наблизити в коефіцієнті для будь-якого якщо P = NP. Які існують спеціальні класи графіків, для яких відомі кращі алгоритми наближення? $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon > 0$

Які графіки, для яких відомі алгоритми поліноміального часу? Я знаю, що для ідеальних графіків це відомо, але чи існують інші цікаві класи графіків?

— Аріндам Пал
джерело

1

Точна ( неприближена

— András Salamon

19

Існує по-справжньому дивовижний список усіх відомих класів графіків, які мають деякі нетривіальні алгоритми для MIS: див. Цей запис на веб-сайті графічних класів.

— Суреш Венкат
джерело

8

Цей список спрямований виключно на точні алгоритми. За наближенням основним класом може бути PTAS на плоских графах, обмежених графах роду і H-мінор-вільних графах.

— Ісін Цао

Спасибі Суреш. Список досить вичерпний. Дякую також Яну за результати наближення.

— Аріндам Пал

2

відповідні посилання: Бренда С. Бейкер: Алгоритми апроксимації NP-повних задач на площинних графіках. J. ACM 41 (1): 153-180 (1994); Девід Еппштейн: Діаметр і ширина в малозакритих сімейних графіках. Algorithmica 27 (3): 275-291 (2000); Ерік Д. Демейн, Мохаммед Тагі Хаджіаї, Кен-Ічі Каварабаяші: Алгоритмічна теорія другорядних теорій: розкладання, наближення та забарвлення. FOCS 2005: 637-646. Дивіться також: курси.csail.mit.edu/ 6.889/

— Крістіан Соммер

12

Я не маю хорошого огляду цієї проблеми, але можу навести кілька прикладів. Простим алгоритмом наближення було б знайти деякий порядок вузлів і жадібно вибрати вузли, які будуть в незалежному наборі, якщо в незалежному наборі не було вибрано попередніх сусідів.

Якщо графік має виродження то використання впорядкування виродження дасть -апроксимацію. отже, для графіків виродження ми маємо досить гарне наближення. $d$ $d$ $n^{1-\epsilon}$

Існує кілька інших методик наближення, які теж працюють, але я їх добре не знаю. Дивіться: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_technique та http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2011/Lectures/lecture_7.pdf

Для поліноміальних алгоритмів, які точно вирішують задачі, найкраще посилання, яке дав Суреш. Які графічні класи цікавіші, важко сказати.

Один клас, який ви не знайдете у цьому списку, - це доповнення графіків -вироджених. Оскільки максимальну кліку можна вирішити в на графах виродження див. Http://en.wikipedia.org/wiki/Bron%E2%80%93Kerbosch_algorithm, особливо робота Еппштейна. Тоді незалежне безліч є многочленом на G, якщо доповнення G має виродження . $k$ $O(2^k n)$ $k$ $O(\log n)$

— Мартін Ватшелле
джерело

Як сказав Мохаммед Аль-Туркстані у своїй відповіді, кубічні плоскі графіки є одним із тих не досконалих графіків, де незалежна множина може бути наближена. Усі плоскі графіки мають виродження не більше 5, а графіки роду k мають виродження O (k) і, отже, незалежна множина може бути апроксимована.

— Мартін Ватшелле

5

Для класу кубічних плоских графіків ця стаття, алгоритм наближення максимальної задачі незалежної задачі в кубічних плоских графах Еларбі Чохмана та Джона Франко, дає алгоритм наближення поліноміального часу. Коефіцієнт наближення їх алгоритму становить 6/7.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

1

Це вже застаріло за технікою Бейкера (FOCS'83) на той момент, коли вона була опублікована в 1986 році

— Девід Еппштейн

4

Я не перевірив відповіді вище, тому вибачте, якщо є перекриття. Ось окремий випадок, коли ви можете вирішити його саме в поліноміальний час. Якщо ваш графік G - це лінійний графік , то запустіть алгоритм поліноміального часу , щоб знайти кореневий графік H, а потім знайдіть максимальну відповідність у H.

— Бабіс Цуракакіс
джерело

І лінійні графіки, і доповнення лінійних графіків є многочленом і охоплені списком, поданим Сурешем Венкатом.

— Мартін Ватшелль

3

У графіках геометричного перетину є кілька цікавих наближень, PTAS та субекспоненціальні точні алгоритми. Дивіться статтю у Вікіпедії Максимальний набір нерозбірливих даних для опитування.

— Ерел Сегал-Халеві
джерело