Міцність розщеплення хунти

Ми говоримо, що булева функція є -junta, якщо має максимум впливає на змінні.$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$k$$f$$k$

Нехай - -'юнта. Позначимо змінні через . Виправити Зрозуміло, що існує такий, що містить принаймні впливних змінних .$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$2k$$f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ $S \in \{S_1, S_2\}$$S$$k$$f$

Тепер нехай , і припустимо, що f: \ {0,1 \} ^ n \ to \ {0,1 \} є \ epsilon -далеко від кожного 2k -junta (тобто треба змінити частку принаймні \ epsilon значень f для того, щоб зробити його 2k -junta). Чи можемо ми зробити «надійну» версію заяви вище? Тобто чи є універсальна константа c , а безліч S \ in \ {S_1, S_2 \} така, що f є \ frac {\ epsilon} {c} -далеч від кожної функції, яка містить щонайбільше k змінних змінних у S ?$\epsilon > 0$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\epsilon$$2k$$\epsilon$$f$$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$$f$$\frac{\epsilon}{c}$$k$$S$

Примітка. У початковій постановці питання було зафіксовано як . Приклад Ніла показує, що такого значення недостатньо. Однак, оскільки при тестуванні власності ми зазвичай не надто переймаємося константами, я трохи полегшив стан.$c$$2$$c$

Відповідь - так. Доказ - протиріччя.

Для наочної зручності позначимо першу $n/2$ змінної через $x$ а другу $n/2$ змінну $y$ . Припустимо , що $f(x,y)$ є $\delta$ -блізко до функції $f_1(x,y)$ , яке залежить тільки від $k$ координат $x$ . Позначимо його впливові координати через $T_1$ . Аналогічно припустимо, що $f(x,y)$ є$\delta$ -закрийте функцію$f_2(x,y)$ яка залежить лише від$k$ координат$y$ . Позначимо його впливові координати за допомогою$T_2$ . Нам потрібно довести, що$f$ дорівнює$4\delta$ - близький до$2k$ -junta$\tilde f(x,y)$ .

Скажемо, що $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$ якщо $x_1$ і $x_2$ узгоджуються всі координати в $T_1$ а $y_1$ і $y_2$ узгоджуються з усіма координатами в $T_2$ . Ми вибираємо рівномірно випадкового представника з кожного класу еквівалентності. Нехай $(\bar x, \bar y)$ є представником для класу $(x,y)$ . Визначте$\tilde f$ так:

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

Очевидно, що $\tilde f$ - $2k$ -junta (це залежить лише від змінних у $T_1 \cup T_2)$ . Доведемо, що воно на відстані $4\delta$ від $f$ в очікуванні.

Хочемо довести, що Pr ˜ f ( Pr x , y ( ˜ f ( x , y ) ≠ f ( x , y ) ) ) = Pr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ , де x і y вибираються рівномірно випадково. Розглянемо випадковий вектор

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$˜ x, отриманий зx, зберігаючи всі біти вT1і випадковим чином перевертаючи всі біти не вT1, а вектор ˜ y визначений аналогічно. Зауважимо, що Pr( ˜ f (x,y)≠f(x,y))=Pr(f( ˉ x , ˉ y )≠f(x,y))=$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

Маємо,

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

Аналогічно, Pr ( f ( ˜ x , y ) ≠ f ( ˜ x , ˜ y ) ) ≤ 2 δ . Маємо Pr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ . QED$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

"Дерадонімізувати" цей доказ легко. Для кожного ( x , y ) , нехай ˜ f ( x , y ) = 1, якщо f ( x , y ) = 1 для більшості ( x ′ , y ′ ) у класі еквівалентності ( x , y ) та ˜ f ( x , y ) = 0 , інакше.$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

Найменший c , для якого виконується пов'язана, - c = $c$√2 -1≈2,41.$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

З лемм 1 і 2 видно, що для цієї с . З леми 3 видно, що ця межа є тісною.$c$

(Для порівняння, елегантний ймовірнісний аргумент Юрі дає c = 4. )$c=4$

Нехай c = 1√2 -1. Лема 1 дає верхню межу дляk=0.$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Лемма 1: Якщо ф поза й г -near функції г , що не має впливає на змінних в S 2 , і F є ε ч -near функції ч , яка не впливає змінні в S 1 , то ф поза ε -near функції постійної , де ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h ) /$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$c .$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Доказ. Нехай ϵ - відстань від f до постійної функції. Припустимо, для протиріччя, що ϵ не задовольняє заявленої нерівності. Нехай y = ( x 1 , x 2 , … , x n / 2 ) і z = ( x n / 2 + 1 , … , x n ) і записуємо f , g і h як f ( $\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$, z ) , g ( y , z ) і h ( y , z ) , тому g ( y , z ) не залежить від z, а h ( y , z ) незалежно від y .$f(y,z)$$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$

(I find it helpful to visualize $f$ as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets $\{y\}$ and $\{z\}$, where $g$ gives a vertex-labeling of $\{y\}$, and $h$ gives a vertex-labeling of $\{z\}$.)

Let $g_0$ be the fraction of pairs $(y,z)$ such that $g(y,z) = 0$. Let $g_1=1-g_0$ be the fraction of pairs such that $g(y,z) = 1$. Likewise let $h_0$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 0$, and let $h_1$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 1$.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that $g(y,z) = h(y,z)$, it also holds that $f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$. (Otherwise, toggling the value of $f(y,z)$ allows us to decrease both $\epsilon_g$ and $\epsilon_h$ by $1/2^n$, while decreasing the $\epsilon$ by at most $1/2^n$, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from $f$ to $g$ plus the distance from $f$ to $h$ is the fraction of $(x,y)$ pairs that are not in agreement. That is, $\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$.

The distance from $f$ to the all-zero function is at most $1 - g_0 h_0$.

The distance from $f$ to the all-ones function is at most $1-g_1 h_1$.

Further, the distance from $f$ to the nearest constant function is at most $1/2$.

Thus, the ratio $\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$ is at most

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ where $g_0,h_0 \in [0,1]$ and $g_1 = 1-g_0$ and $h_1=1-h_0$.

By calculation, this ratio is at most $\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general $k$ by arguing pointwise, over every possible setting of the $2k$ influencing variables. Recall that $c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$.

Lemma 2: Fix any $k$. If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has $k$ influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has $k$ influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a function $\hat f$ that has at most $2k$ influencing variables, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Express $f$ as $f(a,y,b,z)$ where $(a,y)$ contains the variables in $S_1$ with $a$ containing those that influence $h$, while $(b,z)$ contains the variables in $S_2$ with $b$ containing those influencing $g$. So $g(a,y,b,z)$ is independent of $z$, and $h(a,y,b,z)$ is independent of $y$.

For each fixed value of $a$ and $b$, define $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$, and define $G_{ab}$ and $H_{ab}$ similarly from $g$ and $h$ respectively. Let $\epsilon^g_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $G_{ab}$ (restricted to $(y,z)$ pairs). Likewise let $\epsilon^h_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $H_{ab}$.

By Lemma 1, there exists a constant $c_{ab}$ such that the distance (call it $\epsilon_{ab}$) from $F_{ab}$ to the constant function $c_{ab}$ is at most $(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$. Define $\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$.

Clearly $\hat f$ depends only on $a$ and $b$ (and thus at most $k$ variables).

Let $\epsilon_{\hat f}$ be the average, over the $(a,b)$ pairs, of the $\epsilon_{ab}$'s, so that the distance from $f$ to $\hat f$ is $\epsilon_{\hat f}$.

Likewise, the distances from $f$ to $g$ and from $f$ to $h$ (that is, $\epsilon_g$ and $\epsilon_h)$ are the averages, over the $(a,b)$ pairs, of, respectively, $\epsilon^g_{ab}$ and $\epsilon^h_{ab}$.

Since $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$ for all $a, b$, it follows that $\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$. QED

Lemma 3 shows that the constant $c$ above is the best you can hope for (even for $k=0$ and $\epsilon=0.5$).

Lemma 3: There exists $f$ such that $f$ is $(0.5/c)$-near two functions $g$ and $h$, where $g$ has no influencing variables in $S_2$ and $h$ has no influencing variables in $S_1$, and $f$ is $0.5$-far from every constant function.

Proof. Let $y$ and $z$ be $x$ restricted to, respectively, $S_1$ and $S_2$. That is, $y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$.

Identify each possible $y$ with a unique element of $[N]$, where $N=2^{n/2}$. Likewise, identify each possible $z$ with a unique element of $[N]$. Thus, we think of $f$ as a function from $[N]\times[N]$ to $\{0,1\}$.

Define $f(y,z)$ to be 1 iff $\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$.

By calculation, the fraction of $f$'s values that are zero is $(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$, so both constant functions have distance $\frac{1}{2}$ to $f$.

Define $g(y,z)$ to be 1 iff $y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. Then $g$ has no influencing variables in $S_2$. The distance from $f$ to $g$ is the fraction of pairs $(y,z)$ such that $y<\frac{1}{\sqrt 2}N$ and $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. By calculation, this is at most $\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Similarly, the distance from $f$ to $h$, where $h(y,z)=1$ iff $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$, is at most $0.5/c$.

QED