Природний CLIQUE до k-зменшення кольору

Очевидно, скорочення від CLIQUE до k-Color є тим, що вони обоє NP-Complete. Насправді я можу сконструювати його, склавши скорочення від CLIQUE до 3-SAT зі зменшенням від 3-SAT до k-Color. Мені цікаво, чи є розумне пряме скорочення між цими проблемами. Скажімо, скорочення, яке я міг би пояснити другові досить коротко, не потребуючи опису проміжної мови на зразок SAT.

Як приклад того, що я шукаю, ось пряме зменшення у зворотному напрямку: Давши G з $n$ та деяку $k$ (кількість кольорів), складіть графік G 'з $kn$ вершин (один на колір у вершині) . Вершини $v'$ , $u'$ відповідні вершинам $v, u$ та кольорам $c, d$ відповідно, є суміжними тоді і лише тоді, коли $v \neq u$ та ( $c \neq d$ або $vu \not \in G$ ). $n$ -clique в $G'$має тільки одну вершину за вершиною в $G$ , і відповідні кольори є власне $k$ -розмальовка $G$ . Аналогічно, будь-яке правильне $k$ -кольорування $G$ має відповідну кліку в $G'$ .

Редагувати : Для додання короткої мотивації, оригінальні 21 проблеми Карпа довели NP-Complete деревом скорочень, де CLIQUE та Chromatic Number утворюють коріння основних підрядів. Існують певні природні скорочення між проблемами в піддереві CLIQUE та підкреблі Chromatic Number, але багато з них так само важко знайти, як і те, про яке я запитую. Я намагаюся визначити, чи структура цього дерева показує якусь базову структуру в інших проблемах, чи це цілком наслідок того, яке скорочення було знайдено першим, оскільки мотивація пошуку скорочень між двома проблемами є меншою як відомо, вони знаходяться в одному класі складності. Звичайно, порядок мав певний вплив, і частини дерева можна переставляти, але чи можна його переставляти довільно?

Редагувати 2 : Я продовжую шукати пряме скорочення, але ось ескіз найбільш близьких я отримав (це має бути дійсним зменшенням, але CIRCUIT SAT є чітким посередником; це дещо суб'єктивно, чи це краще, ніж складання двох скорочень, про які йдеться у першому абзаці).

З огляду на $G, k$ , ми знаємо, що $\overline{G}$ може бути $n-k+1$ -кольоровим з $k$ вершинами, всіма кольоровими True Iff $G$ має $k$ -clique. Назвемо початкові вершини $G$ $v_1, \ldots, v_n$ а потім додамо до $\overline G$ додаткові вершини: $C_{ij}$ з $1 \le i \le n$ , $0 \le j \le k$. Ключовим інваріантом буде те, що $C_{ij}$ може бути кольоровим True, якщо і лише тоді, коли серед вершин $\{v_1,\ldots, v_i\}$ є принаймні $j$ вершин, кольорових True. Отже, кожен $C_{i0}$ може бути істинним. Тоді $C_{ij}$ при $j > 0$ отримує колір $C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ де всі неістинні кольори трактуються як помилкові. У G iffє$k$ кліка C n k може бути кольоровоюістиною, тому, якщо ми змусимо це забарвлення, новий графік є кольоровим, якщов оригінальному графікубув k- клік.$G$$C_{nk}$$k$

Гаджети І та АБО для налагодження взаємозв'язків схожі на скорочення від СІЛЬСЬКОГО САТ до 3-ЦВІТНОГО, але тут ми включаємо в наш графік $K_{n-k+1}$ , вибираємо вершини T, F і Ground, а потім з'єднуємо всі інші до всього, крім $v_i$ s; це запевняє, що $C_{ij}$ s та інші гаджети отримують лише 3 кольори.

У будь-якому випадку частина $\overline G$ цього зменшення відчувається прямою, але використання воріт AND / OR набагато менш прямо. Залишається питання, чи є більш елегантне скорочення?

Редагувати 3 : Отримано кілька коментарів щодо того, чому це зниження важко знайти. CLIQUE та k-Color - це справді різні проблеми. Хоча навіть без зменшення відповідь, яка детально пояснює, чому зменшення важко в одному напрямку, але можливе в іншому, було б дуже корисним і багато сприяло б проблемі.

З огляду на графік G і число K , таке , що ви хочете знати , є чи G містить K -clique, нехай п число вершин в G . Ми побудуємо інший графік H , такий, що H є n -кольоровим тоді і тільки тоді, коли G має k -clique, таким чином:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) Для кожної вершини v в G складіть n- кліку вершин ( v , i ) в H , де i становить від 1 до n .$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) Додавання одного додаткові вершини х в H .$x$$H$

(3) Для кожної трійки { x , y , z } вершин у H , де y = ( v , i ) і z = ( u , j ) , перевірити, чи виконується одна з таких умов: або u ≠ v і i = j , або u і v - суміжні вершини в G з max ( i , j ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. If either of these two things is true, add another $n$-clique to $H$. Within this clique, select three vertices $x'$, $y'$, and $z'$. Connect $x$ to every vertex in the clique except for $y'$ and $z'$; connect $y$ to every vertex in the clique except for $x'$ and $z'$; and connect $z$ to every vertex in the clique except for $x'$ and $y'$.

The gadgets added in step (3) prevent the triple of vertices $x$, $y$, and $z$ from all being given the same color as each other in a valid coloring of $H$. The clique in $G$ can be recovered from a coloring of $H$ as the set of vertices $(v,i)$ that are in the same color class as $x$ and that have $i\le k$.

?? coloring and clique finding have been known to be tightly coupled for decades via graph theory (possibly even in the 60s?) even not through SAT as an intermediary (which became typical after the Cook proof in 1971). believe there are algorithms based on the following basic property:

If G contains a clique of size k, then at least k colors are needed to color that clique; in other words, the chromatic number is at least the clique number: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

not sure of exact refs but [1,2] are good places to start, an exact algorithm or ref is at least likely cited in these books.

[1] Cliques, coloring, & satisfiability, 2nd DIMACS challenge

[2] Dimacs vol 26: Cliques, coloring and satisfiability