Ефективні та прості рандомізовані алгоритми, де детермінізм утруднений

Я часто чую, що для багатьох проблем ми знаємо дуже елегантні рандомізовані алгоритми, але немає, або тільки складніші детерміновані рішення. Однак я знаю лише кілька прикладів для цього. Найвизначніший

• Рандомізований Quicksort (та пов'язані з ним геометричні алгоритми, наприклад, для опуклих корпусів)
• Рандомізований мінвід
• Тестування поліноміальної ідентичності
• Проблема міри Клі

Серед них лише тестування поліноміальної ідентичності здається справді важким без використання випадковості.

Чи знаєте ви більше прикладів проблем, коли рандомізоване рішення є дуже елегантним або дуже ефективним, але детерміновані рішення - ні? В ідеалі проблеми мирян мають бути легко мотивованими (на відміну, наприклад, тестування поліноміальної ідентичності).

Сортування гайок і болтів

Наступну проблему запропонував Роулінз у 1992 році: Припустимо, вам дають збірку з п яти гайок та п яти болтів. Кожен болт підходить рівно по одній гайці, інакше гайки і болти мають чіткі розміри. Розміри занадто близькі, щоб можна було безпосередньо порівняти пари болтів або пар гайок. Однак ви можете порівняти будь-яку гайку з будь-яким болтом, намагаючись зігнути їх разом; в постійний час ви дізнаєтеся, чи затвор занадто великий, занадто малий, чи просто підходить для гайки. Ваше завдання - виявити, який болт підходить до кожної гайки, або рівнозначно, сортувати гайки та болти за розміром.

Прямий варіант рандомізованого кваксорту вирішує задачу за час з високою ймовірністю. Підберіть випадковий болт; використовуйте його для перегородки гайок; використовуйте відповідну гайку для перегородки болтів; і рецидивують. Однак пошук детермінованого алгоритму, який працює навіть у o ( n 2 ), є нетривіальним. Детерміновані алгоритми O ( n log n ) -рештою були нарешті знайдені у 1995 році Бредфордом і незалежно Комлосом, Ма та Семереді. Під капотом обидва алгоритми використовують варіанти мережі паралельної сортування AKS, тому прихована константа в O ( $O(n \log n)$$o(n^2)$$O(n\log n)$ обмежений час досить великий; прихована константа для рандомізованого алгоритму дорівнює 4.$O(n\log n)$

• Нога Алон, Мануель Блюм, Амос Фіат, Сампат Каннан, Моні Ноар та Рафаїл Островський. Відповідні гайки та болти. Зб. 5-а Енн. ACM-SIAM Symp. Дискретні алгоритми , 690–696, 1994.
• Нога Алон, Філіп Г. Бредфорд та Рудольф Флейшер. Швидше співставляючи гайки та болти. Інформувати. Зб. Лет. 59 (3): 123–127, 1996.
• Філіп Г. Бредфорд. Оптимально відповідні гайки та болти. Техн. Відділ MPI-I-95-1-025, Max-Planck-Institut für Informatik, 1995. http://domino.mpi-inf.mpg.de/internet/reports.nsf/NumberView/1995-1-025
• Філіп Г. Бредфорд та Рудольф Флейшер. Швидше співставляючи гайки та болти. Зб. 6-й. Int. Symp. Алгоритми обчислення. , 402–408, 1995. Наук. 1004.
• Янос Комлос, Юань Ма та Ендре Шемереді. Узгодження гайок і болтів за час . SIAM J. Дискретна математика. 11 (3): 347–372, 1998.$O(n\log n)$
• Грегорі Дж. Е. Роулінс. У порівнянні з чим? : Вступ до аналізу алгоритмів . Прес-комп’ютерна наука / В. Ф. Фрімен, 1992.

Після того, як ви не просто говорите про багаторазовий час, а краще подивитесь на багато моделей обчислень, які ми вивчаємо, всюди є приклади:

У просторі журналів: Неспрямоване з'єднання ST (в RL з 1979 року, а в L лише з 2005 року)

В NC: Паралельне знаходження ідеального збігу в двопартійному графіку (в RNC і досі невідомо, що в NC)

В інтерактивних доказів: детерміновані дають NP, тоді як рандомізовані можуть робити PSPACE. Пов’язано: перевірка доказування детерміновано вимагає переглянути весь доказ, тоді як докази PCP дозволяють перевіряти лише постійну кількість біт.

У проекті алгоритмічного механізму: багато рандомізованих правдивих механізмів наближення без детермінованого аналога.

Складність зв'язку: функція рівності вимагає лінійної комунікації детерміновано, але логарифмічну (або, залежно від точної моделі, постійну) комунікацію випадковим чином.

У деревах рішень: для оцінки та / або дерева потрібні лінійні запити детерміновано, але набагато рідше при рандомізації. Це по суті еквівалент альфа-бета обрізки, що дає рандомізований сублінійний алгоритм для оцінки ігрового дерева.

У потокових моделях розподілені обчислювальні моделі: див. Попередні відповіді.

Більшість потокових алгоритмів

У потоковій моделі обчислень ( AMS , книга ) алгоритм обробляє послідовність оновлень в Інтернеті і обмежується збереженням лише підлінійного простору. У будь-який момент часу алгоритм повинен мати можливість відповісти на запит.

$t$$i_t \in [n]$$D_m = |\{i_t: t = 1\ldots m\}|$$m$$\Omega(n)$$O(\log n)$$O(\frac{1}{\epsilon^2} + \log n)$$1\pm \epsilon$

$n$$\Delta$$\min(\Omega(\log\Delta),\Omega(\sqrt{\log n}))$

$u$

1. $u$$1/d_u$$d_u>0$$u$$d_u=0$$u$
2. $u$$u$
3. $v$

$O(\log n)$$O(n^{1/\sqrt{\log n}})$

[1] Майкл Любі: Простий паралельний алгоритм для максимальної задачі незалежних множин. SIAM J. Comput. 15 (4): 1036-1053 (1986) http://dx.doi.org/10.1137/0215074

[2] Алессандро Панконесі, Аравінд Шрінівасан: Про складність декомпозиції розподіленої мережі. Дж. Алгоритми 20 (2): 356-374 (1996) http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0017

[3] Фабіан Кун, Томас Мосчиброда, Роджер Ваттенхофер: Місцеві обчислення: нижня та верхня межі. CoRR abs / 1011.5470 (2010) http://arxiv.org/abs/1011.5470

Вибори лідера в анонімному циклі процесів

$1$

Існує простий аргумент (наприклад, [1]), що для анонімного кільця немає детермінованого алгоритму вибору лідера.

Модель: Ми припускаємо, що обчислення просувається в синхронних раундах, коли в кожному раунді кожен процес виконує певні локальні обчислення, надсилає повідомлення своїм сусідам по рингу і отримує повідомлення від своїх сусідів.

$A$$r\ge 0$$1$

$r\ge 0$$r$$A$$r$$r$$r+1$$A$

$A$$n$$[1,n^4]$

[1] Dana Angluin: Локальні та глобальні властивості в мережах процесорів (розширений конспект). STOC 1980: 82-93. http://doi.acm.org/10.1145/800141.804655

Більшість проблем у моделі запиту.

$n$$i$$j$

$n/2$$O(n)$

$O(n)$

FRK Chung, RL Graham, J. Mao, AC Yao, Очевидні та адаптивні стратегії для проблем більшості та плюралізму, Proc. COCOON 2005 , с. 329–338.