Твердість параметризованого КЛІКУ?

Нехай $0\le p\le 1$ і розглянемо проблему рішення

CLIQUE Введення: ціле число , графік з вершинами та ребрами Питання: чи містить кліку принаймні вершин? $_p$
$s$ $G$ $t$ $\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$ $s$

Екземпляр CLIQUE містить пропорцію з усіх можливих ребер. Очевидно CLIQUE легко для деяких значень . CLIQUE містить лише повністю відключені графіки, а CLIQUE містить повні графіки. У будь-якому випадку CLIQUE можна визначити за лінійним часом. З іншого боку, для значень близьких до , CLIQUE є NP-важким за рахунок зменшення від самого CLIQUE: по суті, достатньо прийняти роз'єднаний союз з графіком Турана . $_p$ $p$ $_p$ $p$ $_0$ $_1$ $_p$ $p$ $1/2$ $_p$ $T(t,s-1)$

Моє запитання:

Чи CLIQUE або в PTIME, або NP-повна для кожного значення ? Або є значення для яких CLIQUE має проміжну складність (якщо P ≠ NP)? $_p$ $p$ $p$ $_p$

Це запитання виникло з пов'язаного питання щодо гіперграфів, але воно здається цікавим саме по собі.

cc.complexity-theory np parameterized-complexity clique

— Андраш Саламон
джерело

цікаве запитання!

— Суреш Венкат

Чи дійсне число pa між 0 і 1, або p може бути функцією t?

— Робін Котарі

@Robin: Я не уточнив, і те й інше було б цікаво.

— Андраш Саламон

Якщо пропорція ребер є верхньою межею (а не точною вимогою до підрахунку чи нижньою межею), то для будь-якої постійної

ця проблема є NP-жорсткою за рахунок зменшення від CLIQUE: Додайте досить великий набір ізольованих вершин . Чи є вимога, щоб число ребер було рівним заданому виразу? Або яку яскраво очевидну річ я пропускаю? :-)

0 < p < 1

$0<p<1$

— gphilip

@gphilip: Як ви вказуєте, зменшення негайне, якщо пропорція є лише верхньою межею; саме тому питання формулюється в точній пропорції.

— Андраш Саламон

Відповіді:

Я припускаю, що число у визначенні проблеми CLIQUE_pрівно дорівнює кількості ребер у графіку, на відміну від коментаря gphilip до питання. $\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

Задача CLIQUE _p є NP-повною для будь-якої раціональної постійної 0 < p <1 шляхом зменшення від звичайної задачі CLIQUE. (Припущення, що р є раціональним, потрібне лише для того, щоб можна було обчислити з N у поліномії часу в N. ) $\lceil pN \rceil$

Нехай k ≥3 - ціле число, що задовольняє і k ² ≥1 / p, і (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Враховуючи графік G з n вершинами та m ребрами разом із пороговим значенням s , зменшення працює наступним чином.

Якщо s < k , ми вирішуємо задачу CLIQUE в часі O ( n ^s ) час. Якщо є клаца розміром принаймні s , ми виробляємо фіксований екземпляр так. В іншому випадку ми виробляємо фіксований екземпляр.
Якщо n < s , ми виробляємо фіксований no-екземпляр.
Якщо n ≥ s ≥ k , додамо до G a ( k −1) -частковий графік, де кожен набір складається з n вершин, що має рівно ребер і складіть цей графік. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Зауважимо, що випадок 1 займає час O ( n ^{k −1} ), який є поліном в n для кожного p . Випадок 3 можливий тому, що якщо n ≥ s ≥ k , то неотрицательний і, щонайбільше, кількість ребер у повному (k−1) -частковому графіку K_n_,…,_n,як показано в наступних двохпунктахформули. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

П.1 . . $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Доказ . Оскільки , досить, якщо доведемо $m \le \binom{n}{2}$ або еквівалентноpnk(nk−1) ≥n(n−1). Оскількиp≥ 1 /k², маємоpnk(nk−1) ≥n(n−1 /k) ≥n(n−1). QED. $p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

П. 2 . . (Зверніть увагу, що права частина - це кількість ребер у повному (k − 1) -частковому графіку K_n_,…,_n.) $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Доказ . Оскільки і m ≥ 0, то достатньо, якщо доведемо $\lceil x \rceil \lt x+1$ або еквівалентноn²(k−1) (k−2) -pnk(nk−1) - 2 ≥ 0. Оскількиp<(1-1/k) (1 -2 /k), маємо $p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

n^{2} (k - 1) (k - 2) - p n k (n k - 1) - 2

$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$

\geq n^{2} (k - 1) (k - 2) - n (n - \frac{1}{k}) (k - 1) (k - 2) - 2

$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$

QED.

= \frac{n}{k} (k - 1) (k - 2) - 2 \geq (k - 1) (k - 2) - 2 \geq 0.

$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$

Редагувати : зменшення версії 1 мала помилку; інколи потрібен графік з від’ємною кількістю ребер (коли p було малим). Ця помилка виправлена зараз.

— Цуосі Іто
джерело

це найближче до конкретного фразування, тому дякую, що вирішили його. Випадок 3 найближчий до того, що я мав на увазі. Однак я не дотримуюся розрахунку - ви могли б трохи розширити?

— Андраш Саламон

@ András Salamon: Готово.

— Цуйосі Іто,

Якщо $p$ може бути функцією $t$ , то проблема може бути проміжною. Налаштуйте $p$ так що кількість ребер буде сказати $\log^4 t$ . Тоді очевидно $s$ може бути не більше $\log^2 t$ а значить, є $t^{\log^2 t}$ алгоритм цієї проблеми, тобто, що проблема (за стандартними припущеннями, скажімо, у SAT немає субекспоненціальних алгоритмів) не може бути важкою для NP.

З іншого боку, ця проблема складніше, ніж стандартна проблема $\log^2 t$ вершини (ви завжди можете розмістити всі ребра на цих вершинах, а решта проігнорувати). І знову ж таки, при тому ж припущенні проблема не має алгоритму багаточленного часу.

Якщо $p$ - це константа, то це завжди NP важко, як сказав гфіліп.

— Боаз Барак
джерело