Твердість параметризованого КЛІКУ?


17

Нехай 0p1 і розглянемо проблему рішення

CLIQUE p Введення: ціле число s , графік G з t вершинами та ребрами Питання: чи містить кліку принаймні вершин?p
sGtp(t2)
Gс

Екземпляр CLIQUE містить пропорцію з усіх можливих ребер. Очевидно CLIQUE легко для деяких значень . CLIQUE містить лише повністю відключені графіки, а CLIQUE містить повні графіки. У будь-якому випадку CLIQUE можна визначити за лінійним часом. З іншого боку, для значень близьких до , CLIQUE _p є NP-важким за рахунок зменшення від самого CLIQUE: по суті, достатньо прийняти роз'єднаний союз з графіком Турана T (t, s-1) .pppp01pp1/2p T(t,s1)

Моє запитання:

Чи CLIQUE або в PTIME, або NP-повна для кожного значення ? Або є значення для яких CLIQUE має проміжну складність (якщо P ≠ NP)? p p ppppp

Це запитання виникло з пов'язаного питання щодо гіперграфів, але воно здається цікавим саме по собі.


1
цікаве запитання!
Суреш Венкат

Чи дійсне число pa між 0 і 1, або p може бути функцією t?
Робін Котарі

@Robin: Я не уточнив, і те й інше було б цікаво.
Андраш Саламон

3
Якщо пропорція ребер є верхньою межею (а не точною вимогою до підрахунку чи нижньою межею), то для будь-якої постійної ця проблема є NP-жорсткою за рахунок зменшення від CLIQUE: Додайте досить великий набір ізольованих вершин . Чи є вимога, щоб число ребер було рівним заданому виразу? Або яку яскраво очевидну річ я пропускаю? :-)0<p<1
gphilip

1
@gphilip: Як ви вказуєте, зменшення негайне, якщо пропорція є лише верхньою межею; саме тому питання формулюється в точній пропорції.
Андраш Саламон

Відповіді:


14

Я припускаю, що число у визначенні проблеми CLIQUEpрівно дорівнює кількості ребер у графіку, на відміну від коментаря gphilip до питання.p(t2)

Задача CLIQUE p є NP-повною для будь-якої раціональної постійної 0 < p <1 шляхом зменшення від звичайної задачі CLIQUE. (Припущення, що р є раціональним, потрібне лише для того, щоб можна було обчислити з N у поліномії часу в N. )pN

Нехай k ≥3 - ціле число, що задовольняє і k 2 ≥1 / p, і (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Враховуючи графік G з n вершинами та m ребрами разом із пороговим значенням s , зменшення працює наступним чином.

  1. Якщо s < k , ми вирішуємо задачу CLIQUE в часі O ( n s ) час. Якщо є клаца розміром принаймні s , ми виробляємо фіксований екземпляр так. В іншому випадку ми виробляємо фіксований екземпляр.
  2. Якщо n < s , ми виробляємо фіксований no-екземпляр.
  3. Якщо nsk , додамо до G a ( k −1) -частковий графік, де кожен набір складається з n вершин, що має рівно ребер і складіть цей графік.p(nk2)m

Зауважимо, що випадок 1 займає час O ( n k −1 ), який є поліном в n для кожного p . Випадок 3 можливий тому, що якщо nsk , то неотрицательний і, щонайбільше, кількість ребер у повному (k−1) -частковому графіку Kn,…,n,як показано в наступних двохпунктахформули.p(nk2)m

П.1 . .p(nk2)m0

Доказ . Оскільки , досить, якщо доведемоp ( nkm(n2) або еквівалентноpnk(nk−1) ≥n(n−1). Оскількиp≥ 1 /k2, маємоpnk(nk−1) ≥n(n−1 /k) ≥n(n−1). QED.p(nk2)(n2)

П. 2 . . (Зверніть увагу, що права частина - це кількість ребер у повному (k − 1) -частковому графіку Kn,…,n.)p(nk2)m<n2(k12)

Доказ . Оскільки і m ≥ 0, то достатньо, якщо доведемо p ( n kx<x+1 або еквівалентноn2(k−1) (k−2) -pnk(nk−1) - 2 ≥ 0. Оскількиp<(1-1/k) (1 -2 /k), маємо n2(k-1)(k-2)-pnk(nk-1)-2n2(k-1)(k-2p(nk2)+1n2(k12)

n2(k1)(k2)pnk(nk1)2
=n
n2(k1)(k2)n(n1k)(k1)(k2)2
QED.
=nk(k1)(k2)2(k1)(k2)20.

Редагувати : зменшення версії 1 мала помилку; інколи потрібен графік з від’ємною кількістю ребер (коли p було малим). Ця помилка виправлена ​​зараз.


це найближче до конкретного фразування, тому дякую, що вирішили його. Випадок 3 найближчий до того, що я мав на увазі. Однак я не дотримуюся розрахунку - ви могли б трохи розширити?
Андраш Саламон

@ András Salamon: Готово.
Цуйосі Іто,

15

Якщо p може бути функцією т, то проблема може бути проміжною. Налаштуйтеp так що кількість ребер буде сказати журнал4т. Тоді очевиднос може бути не більше журнал2т а значить, є тжурнал2т алгоритм цієї проблеми, тобто, що проблема (за стандартними припущеннями, скажімо, у SAT немає субекспоненціальних алгоритмів) не може бути важкою для NP.

З іншого боку, ця проблема складніше, ніж стандартна проблема журнал2твершини (ви завжди можете розмістити всі ребра на цих вершинах, а решта проігнорувати). І знову ж таки, при тому ж припущенні проблема не має алгоритму багаточленного часу.

Якщо p - це константа, то це завжди NP важко, як сказав гфіліп.

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.