«Охоронні» негативні явища у визначенні індуктивних типів, завжди погані?

Я знаю, як деякі негативні явища можуть бути остаточно поганими:

data False

data Bad a = C (Bad a -> a)

selfApp :: Bad a -> a
selfApp (x@(C x')) = x' x

yc :: (a -> a) -> a
yc f = selfApp $ C (\x -> f (selfApp x))

false :: False
false = yc id

Однак я не впевнений, чи:

• всі індуктивні типи з негативними випадками можуть вийти не так;

• якщо так, то відомий механічний спосіб цього;

Наприклад, я боровся, намагаючись не допустити такого типу:

type Not a = a -> False

data Bad2 a = C2 (Bad2 (Not a) -> a)

Буде вдячний будь-який вказівник літератури на цю тему.

Причину заборони негативних явищ можна зрозуміти за аналогією з теоремою Кнастер-Тарскі. Ця теорема говорить про це

якщо - повна решітка, а - монотонна функція на , то безліч фіксованих точок також є повною решіткою. Зокрема, є найменша фіксована точка і найбільша фіксована точка .$L$$f : L \to L$$L$$f$$\mu{f}$$\nu f$

У традиційній теорії моделі решітки можна розглядати як пропозиції, а відношення порядку можна розуміти як потягнення (тобто, що правда з правдою ).$L$$p \leq q$$q$$p$

Коли ми переходимо від теорії моделей до теорії доказів, решітки узагальнюються до категорій. Тип можна розглядати як об'єкти категорії , і відображення являє собою доказ того, що може бути отриманий з .$\mathbb{C}$$e : P \to Q$$Q$$Q$

Коли ми намагаємось інтерпретувати типи, визначені рекурсивними рівняннями, ee, , очевидно, що потрібно зробити, це шукати узагальнення теореми Кнастера-Тарського. Таким чином , замість монотонної функції на решітці, ми знаємо , хочемо функтор , який відправляє об'єкти до об'єктів, але узагальнює умова монотонності , так що кожне відображення отримує карту (з умовами узгодженості, що посилає тотожності до тотожностей і зберігає композиції так, що ).$\mathbb{N} = \mu \alpha.\;1 + \alpha$ $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$e : P \to Q$$F(e) : F(P) \to F(Q)$$F$$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$

Отже, якщо ви хочете індуктивний тип даних , вам також потрібно надати функціональну дію на умовах оператора типу , щоб переконатися, що потрібна фіксована точка існує. Умова суворої позитивності в Агді та Кок є синтаксичним умовою, що передбачає це смислове обмеження. Якщо мова йде про те, що якщо ви будуєте оператор типу з сум і продуктів, то ви завжди можете готувати функціональну дію, і тому будь-який тип, сформований таким чином, повинен мати фіксовану точку.$\mu \alpha.\;F(\alpha)$$F$

У мовах залежно введених типів ви також маєте індексовані та параметризовані типи, тому ваше справжнє завдання складніше. Боб Еткі (який веде блог про це тут і тут ) каже мені, що гарне місце для пошуку історії:

• Структурна індукція та індукція у фібраційній установці , Клаудіо Герміда та Барт Джейкобс 1997.
• Правила фіброзної індукції для початкових алгебр , Ніла Гані, Патріції Йоганн та Клімента Фумекса 2010.

Як зазначає Андрій, принципово добре чи ні негативне виникнення залежить від вашої моделі теорії типів. В основному, коли у вас є рекурсивне визначення, ви шукаєте фіксовану точку, і в математиці існує багато теорем з фіксованою точкою.

Те, що я особисто багато використовував, - це теорема фіксованої точки Банаха, яка говорить про те, що якщо ви маєте строго контрактивну функцію на метричному просторі, то вона має унікальну фіксовану точку. Ця ідея була введена в семантику (IIRC) Морісом Ніватом, і вона була широко вивчена Америкою та Руттеном, і нещодавно Біркедал та його співробітники були пов'язані з популярною операційною технікою під назвою "ступенева індексація".

• Розв’язування рефлексивних рівнянь домену в категорії повних метричних просторів , П'єр Америка та Ян Дж. М. Руттен 1989.
• Категорія-теоретичне рішення рекурсивних рівнянь метричного простору , Ларса Біркедала, Крістіана Шеврінга та Якова Тамсборга. 2010 рік.

Це породжує теорії типів, де дозволені негативні випадки в рекурсивних типах, але лише тоді, коли негативні випадки трапляються під спеціальним конструктором типу "захищеність". Цю ідею вніс Хіросі Накано, і зв’язок з теоремою Банаха зробив як я, так і Нік Бентон, а також Ларс Біркедал та його співавтори.

• Модальність рекурсії , Хіросі Накано, 2000.
• Ультраметрична семантика реактивних програм , Нік Бентон та Ніл Кришнасвамі, 2011 рік.
• Метрична модель охоронної рекурсії , Ларс Біркедал, Ян Швінгхаммер та Крістіан Штоврінг, 2010 рік.

Іноді можна розв’язати рекурсивні рівняння «на удачу».

Я припускаю, що ви хочете зробити це наборами (на відміну від якоїсь теорії домену) Якщо ми розгортаємо ваше визначення і запишемо рівняння безпосередньо без анотацій Haskell, отримуємо Розглянемо два випадки:

$$A \cong (A \to \emptyset) \to A.$$

1. Якщо населений, тобто містить щось, то , тому рівняння зводиться до І дійсно, однорядне множина вирішує рівняння.A → ∅ ≅ ∅ A ≅ ∅ → A ≅ 1. $A$$A \to \emptyset \cong \emptyset$

   $$A \cong \emptyset \to A \cong 1.$$ $1$

2. Якщо порожній, то отримуємо .∅ ≅ ( ∅ → ∅ ) → ∅ ≅ 1 → ∅ ≅ $A$$\emptyset \cong (\emptyset \to \emptyset) \to \emptyset \cong 1 \to \emptyset \cong \emptyset$

Висновок: є два рішення: порожній тип (який ви назвали False) та тип одиниці ().

Ось ще один цікавий приклад: або в Haskell

$$A \cong (A \to 2) \to 2,$$

data Cow a = Moo ((a -> Bool) -> Bool)

З точки зору множин це . За теоремою Кантора немає рішення, оскільки має менше елементів, ніж . Однак якщо ми подивимось на це рівняння в топологічних просторах, є рішення, а саме Це так, тому що - простір Кантора, - простір його підмножин clopen, яких існує чимало (і вам потрібно думати, щоб побачити, що вони утворюють дискретний простір). Аналогічно ви можете демонструвати біекцію між і в Haskell. 2 2 Н ≅ 2 2 Н . 2 $A \cong 2^{2^A}$$A$$2^{2^A}$

$$\mathbb{N} \cong 2^{2^\mathbb{N}}.$$ $2^\mathbb{N}$$2^{2^\mathbb{N}}$Integer(Integer -> Bool) -> Bool

До пояснень Андрія чи Ніла важко додати що-небудь, але я спробую. Я спробую розглянути синтаксичну точку зору, а не намагатись розкрити основну семантику, тому що пояснення є більш елементарним, і я можу дати більш просту відповідь на ваше запитання.

Я буду працювати в просто набраному -calculus, а не в більш складній системі, що лежить в основі Haskell. Я вважаю, зокрема, що наявність змінних типів може певною мірою вас бентежити.$\lambda$

Найважливішим посиланням є наступне:

Мендлер, Н. (1991). Індуктивні типи та обмеження типу в обчисленні лямбда другого порядку. Боюсь, я не знайшов посилання в Інтернеті. Проте твердження та докази можна знайти в кандидатській дисертації Накса (настійно рекомендується читати!).

Мендлер пояснює, що позитивність є необхідною і достатньою умовою припинення за наявності нерекурсивних визначень випадків (і структурно зменшуваних рекурсивних). Він констатує це за допомогою рівняльної формулювання. Я наводжу простий приклад, який є спрощенням вашого типу .$\mathrm{Bad}$

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

Де - будь-який тип. У нас тоді є$A$

$$\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x: \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

і так

$$(\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x)\ (\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x): A$$

Мендлер показує, що це може бути здійснено для будь-якого типу де - тип, що має принаймні одне негативне явище (можуть бути і позитивні випадки) . Він дає чіткий термін, який не може закінчитися для даного (стор. 39-40 його тези).F ( X ) X F ( X

$$\mathrm{Bad} = F(\mathrm{Bad})$$ $F(X)$$X$$F(X)$

Звичайно, ви працюєте не з рівнями, визначеними в рівній формі, а з конструкторами , тобто у вас є

data Bad = Pack (Bad -> A)

а не сувора рівність. Однак ви можете визначитись

unpack :: Bad -> (Bad -> A)
unpack (Pack f) = f

що достатньо для того, щоб цей результат і надалі мав місце:

 (\x:Bad -> unpack x x) (Pack (\x:Bad -> unpack x x))

Цей термін ще типізований типу .$A$

---

У вашому другому прикладі все є дещо складніше, оскільки у вас є щось, що відбувається за принципом

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}' \rightarrow A$$

де є пов'язані , але НЕ рівні, до (в вашому випадку вони рівні і відповідно). Я визнаю, що я не міг побудувати прямого ізоморфізму між ними. Ця ж проблема є, якщо ви замінитеB a d B a d a B a d ( N o t a$\mathrm{Bad}'$$\mathrm{Bad}$$\mathrm{Bad}\ a$$\mathrm{Bad}\ (\mathrm{Not}\ a)$

type Not a = a -> False

з

data Not a = Not a

Це було б легко вирішити, якби Haskell дозволив такі визначення типу:

type Acc = Not Acc

У цьому випадку ви можете створити циклічний комбінатор точно таким же чином, як і раніше. Я підозрюю, що ви можете виконати подібну (але більш складну) конструкцію, використовуючи

data Acc = D (Not Acc)

Біда в тому, що побудувати ізоморфізм

Bad Acc <-> Bad (Not Acc)

вам доведеться мати справу зі змішаною дисперсією.