Про оптимальність алгоритму Гровера з високою ймовірністю успіху

Загальновідомо, що обмеженість квантового запиту щодо обмеженої помилки функції є . Тепер питання полягає в тому, що якщо ми хочемо, щоб наш квантовий алгоритм мав успіх для кожного введення з вірогідністю а не звичайним . Тепер з точки зору які були б відповідні верхня та нижня межі? $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

Негайно запитів достатньо для цього завдання, повторивши алгоритм Grover. Але, наскільки я пам'ятаю, це зовсім не оптимально, оскільки навіть звичайний алгоритм Гровера, якщо запускати обережно, тобто для відповідної кількості ітерацій, може досягти чогось на кшталт з просто ітерації. Отже, використовуючи це, можна отримати поліпшення для всіх . З іншого боку, я не очікую, що буде правильною відповіддю для дуже маленьких . $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Але мені цікаво побачити, що можна показати в частині -залежної верхньої та нижньої межі для різних діапазонів особливо коли дуже малий скажіть або для великих 's. $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Щоб дати певний контекст, загальне явище, на яке я стикаюся, - це посилення в контексті складності квантового запиту.)

— Мохаммед Баварський
джерело

Цей документ повинен дати відповіді на ваші запитання: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

Хммм, я трохи заплутався у випадку . Здається, цей документ arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf стверджує, що при ітераціях приблизно можна отримати результат високої ймовірності, тобто . (Сторінка 2 внизу першого стовпця) З іншого боку, згаданий вами документ говорить, на сторінці 4 в кінці розділу 3, що ймовірність відмови неможлива для запитів .

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

— Мохаммед Баварій

@MohammadBavarian: Я думаю, що це лише в тому випадку, коли кількість рішень відома (або існує унікальне рішення).

— Робін Котарі

Для повноти ось відповідь.

Нехай позначає -error складність квантового запиту обчислення функції і - функція OR для бітів, визначених як . (Зверніть увагу, що це відрізняється від проблеми, коли вам обіцяють, що вхід має рівно один 1, а мета - встановити, що 1. Ця проблема може бути вирішена без помилок у запитах .) $Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

Тоді ми маємо для всіх , $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Це випливає з меж для квантових алгоритмів з малими помилками та нульовими помилками .

Насправді ми знаємо щось більш загальне. Для всіх симетричних функцій , які є функціями, які залежать лише від ваги Хеммінга вхідного сигналу, маємо, що для всіх , $f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Це було показано в примітці про квантові алгоритми та мінімальному ступені многочленів епсилон-помилок для симетричних функцій .

— Робін Котарі
джерело