Як визначається подвійність типів?

У рекурсивних видах Вадлера безкоштовно! [1], він показав два типу, $\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$ і $\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$ , і стверджується, що вони подвійні . Зокрема, він зазначив, що тип $\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$ - нідуал першої. Здається, дуальність, про яку йдеться, відрізняється від логіки подвійності Де Моргана. Цікаво, як визначається подвійність типів, зокрема для трьох згаданих типів, чому другий є подвійним першим, а третій - ні. Дякую.

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

У цьому контексті подвійність стосується взяття найменшої фіксованої точки в одному випадку і найбільшої фіксованої точки в іншому. Ми повинні спробувати зрозуміти , в якому сенсі і G = ∃ х . ( Х → Р ( Х ) ) × Х є "найменш" і "найбільшим" рішенням рекурсивного рівняння F ( X ) ≅ Х .$L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$$G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$$F(X) \cong X$

Перш за все, і G - це дійсно нерухомі точки (за певних технічних припущень, які обмежують характер F ), оскільки порівняльні карти v : F ( L ) → L і w : G → F ( G ), задані $L$$G$$F$$v : F(L) \to L$$w : G \to F(G)$ і w ( X , ( f , x ) ) = F ( λ y :

$$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$$ - ізоморфізми. Зауважте, що ми використовували той факт, що F - функтор, тобто це одноманітно, коли ми застосовували його до функцій. $$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$$ $F$

Нехай будь-яке рішення F ( Y ) ≅ Y з посередницькою ізоморфізму у : F ( Y ) → Y . Тоді маємо канонічні карти α : L → Y  і  β : Y → G, визначені $Y$$F(Y) \cong Y$$u : F(Y) \to Y$

$$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$$ і $$\alpha \, f = f\, Y\, u$$ Тому L - ценайменше,тому що ми можемо відобразити його з будь-яким іншим рішенням, а G єнайбільшим,оскільки ми можемо відобразити з будь-якого іншого рішення до нього. Ми могли б зробити все це більш точним, поговоривши про початкові алгебри та кінцеві вугілля, але я хочу, щоб моя відповідь була короткою і милою, і Коді так чи інакше пояснив алгебри. $$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$$ $L$$G$

На практиці найменше рішень - це жадані типи даних, а найбільше - ледачі типи даних. Наприклад, якщо то в першому випадку ми отримуємо кінцеві списки A 's, а у другому скінченні та нескінченні списки A ' s.$F(X) = 1 + A \times X$$A$$A$

Відповідь можна зрозуміти категорично через лінзу F-алгебр . Категоричне уявлення рекурсивного типу в категорії C приблизно можна вказати з допомогою функтора F : C → C . Потім працює в категорії F -алгебр с$I$$\cal C$$F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$$F$

• як об'єкти: об'єкти з C разом з морфізма & alpha ; : F ( A ) → $A$$\cal C$ $$\alpha:F(A)\rightarrow A$$

• як стрілки: квадрати

  

Тепер, щоб був рекурсивним типом, представленим F , я повинен бути початковим у цій категорії: нам потрібно$I$$F$$I$

1. Морфізм $in:F(I) \rightarrow I$
2. Для кожної -алгебри ( A , α ) морфізм f o l d : I → A, що робить відповідний квадратний комут.$F$$(A,\alpha)$$fold: I\rightarrow A$

Тепер визначимо . Це досить ясно , як побудувати е ущільнювального л д : просто е ущільнювального л д = λ я : я . i A α : I → A Building i n трохи складніше, пояснює це Уодлер, тому я не намагатимусь цього робити. Зауважте, що це вимагає факту, що F є a$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$$fold$

$$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$$ $in$$F$ функтором, що може розглядатися як вимога позитивності.

Зараз в теорії категорій ми часто хочемо розглянути ситуацію, в якій всі стрілки перевернуті. У цьому випадку, з огляду на , ми можемо розглянути категорію F -когельгери з$F$$F$

• Як об'єкти: об'єкти of C разом із морфізмом ω : Z → F ( Z $Z$$\cal C$ $$\omega: Z\rightarrow F(Z)$$
• Як стрілки, квадрати, як у випадку алгебри (але з оберненими α і β ).$F$$\alpha$$\beta$

Тепер ми хочемо вивчити термінальний об’єкт цієї категорії. Тепер вимоги змінено:$T$

1. Морфізм $out:T\rightarrow F(T)$
2. Для кожного -коалгебри Z , морфізм з про е про л д : Z → T .$F$$Z$$cofold: Z\rightarrow T$

Як ми це робимо? Ну , як наказує Wadler, ми приймаємо . Аналогічним чином , ніж раніше, ми маємо гр ущільнювачів е про л д = Л г : Z . ( Z , ω , г ) : Z → T Ця конструкція не працювала б , якби ми замість того, щоб приймати T = ∃ X . X → ( $T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

$$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$$ .$T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

На мій досвід, хороший та оперативний спосіб зрозуміти подвійність типів для -калькулів - це проходження π -калькуляції.$\lambda$$\pi$

Коли ви перекладаєте (розкладаєте) типи на обчислення процесів, подвійність стає простою: введення подвійне для виведення та навпаки . Подвійності немає (набагато) більше.

$\pi$$\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$$\alpha$$\alpha$$x$$\overline{x}\langle false,7\rangle$$\overline{\alpha}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\alpha}$$(bool,int)^{\downarrow}$$\overline{\alpha}$$x$$c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$$\alpha$$\overline{\alpha}$$P$$\alpha$$x$$Q$$\overline{\alpha}$$x$$P$$Q$$\beta$$\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$X$$w$$X$$x$

$$x(vw).\overline{w}v$$ $\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

Що означає універсальне кількісне визначення на рівні процесу? Існує пряма інтерпретація: якщо дані набрані змінною типу, вони не можуть використовуватися як предмет виводу, а лише об'єкт. Тому ми не можемо перевірити ці дані, ми можемо лише передати їх або забути.

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

Теорія цього була детально опрацьована в [1, 2, 3] та деяких інших, важче доступних до роботи, і дуже точно пов'язана з поляризованою лінійною логікою та її поняттям подвійності в 4 .

$\lambda$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\pi$$\lambda$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

4 К. Хонда та ін., Точне відповідність між набраним пі-колом та поляризованими захисними сітками .

5 Р. Мілнер, Функції як процеси .