Твердість наближення без теореми PCP

Важливим застосуванням теореми PCP є те, що вона дає результати "твердості наближення". У деяких відносно більш простих випадках можна довести таку твердість без PCP. Чи є, однак, якийсь випадок, коли твердість результату наближення вперше була доведена за допомогою теореми PCP, тобто результат раніше не був відомий, але пізніше було знайдено більш пряме підтвердження, яке не залежить від PCP? Іншими словами, чи є випадок, коли PCP спочатку виявився необхідним, але згодом його можна було усунути?

Прикладом є цей документ:

Guruswami, V., & Khanna, S. (2004). За твердістю 4-х забарвлень 3-х кольоровий графік. Журнал SIAM з дискретної математики , 18 (1): 30-40. посилання

Використовуючи теоретику PCP, Khanna, Linial і Safra (2000), було доведено, що кольоровий 3-кольоровий графік з кольором, що містить 4 кольори, є NP-важким. Пізніше Guruswami & Khanna (2004), крім інших приємних речей, надали доказ без ПКП для того ж результату.

Для задачі щодо максимальних реберних неперерізних шляхів у спрямованих графах документ Ma & Wang (2000) базувався на задачі обкладинки міток, яка в свою чергу базується на теоремі PCP. Згодом Guruswami et et знайшли просте зменшення за допомогою твердості проблеми 2-disjointpath . ін. (2003), що також підвищило твердість.

Є приклади з приблизного підрахунку. Приблизно підрахувати кількість задовольняючих задань відношення NP може бути важче, ніж вирішити, чи існує задовольняюче завдання, тож не надто дивно, що теоремі PCP не потрібно, щоб довести твердість для таких проблем. Тим не менш, теорема PCP іноді дає зручну вихідну точку, наприклад, для цієї роботи про приблизно підрахунок кількості незалежних множин у розрізненому графіку: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf Пізніше Sly довів результат твердості приблизно для підрахунку незалежних наборів лише на основі стандартної NP-твердості Max-Cut: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

Ще одна відповідь, дещо інший дух, ніж попередні відповіді, - це документ Урі Фейге: Зв'язки між середньою складністю випадку та складністю наближення. .

Урі показує, що середні припущення випадку можуть замінити теорему PCP для доказу твердості наближення деяких проблем. Однак зауважте, що ми не знаємо, як довести припущення про середній випадок, і у нас є деякі докази того, що ми не зможемо довести їх на основі стандартних припущень щодо твердості (див. Статті Feigenbaum-Fortnow, Богданов-Тревісан тощо).