0-1 Лінійне програмування: обчислення оптимальної рецептури

Розглянемо $n$ розмірний простір $\{0,1\}^n$ , і нехай $c$ є лінійним обмеженням виду $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ , де , іx i ∈ { 0 , 1 } k ∈ $a_i \in \mathbb{R}$$x_i \in \{0,1\}$$k \in \mathbb{R}$.

Зрозуміло, що має ефект розщеплення на два підмножини і . містить усі та тільки ті точки, що задовольняють , тоді як містить усі та лише ті точки, які фальсифікують .{ 0 , 1 } n S c S ¬ c S c c S ¬ c$c$$\{0,1\}^n$$S_c$$S_{\lnot c}$$S_c$$c$$S_{\lnot c}$$c$

Припустимо, що . Тепер нехай є підмножиною таким, що всі три наступні твердження містять:O S $|S_c| \geq n$$O$$S_c$

1. $O$ містить рівно балів.$n$
2. Такі точок лінійно незалежні.$n$
3. Такими точками є ті, що знаходяться на мінімальній відстані від гіперплощини, представленої . Точніше, нехай - відстань точки від гіперплощини . Тоді, таким чином, що задовольняє 1 і 2, це випадок, що . Іншими словами, серед усіх підмножин задовольняють умовам 1 і 2, є тим, що мінімізує суму відстаней його точок від гіперплощини .c d ( x , c ) x ∈ { 0 , 1 } n c ∀ B ⊆ S c B ∑ x ∈ B d ( x , c ) ≥ ∑ x ∈ O d ( x , c ) O S c$n$$c$$d( x, c )$$x \in \{0,1\}^n$$c$$\forall B \subseteq S_c$$B$$\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$$O$$S_c$$c$

Запитання

1. З огляду на , чи можна обчислити ефективно? $c$$O$
2. Який найвідоміший алгоритм для його обчислення?

$\ $

Приклад з $n = 3$

, O = { ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 0 ) } .$S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$$O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\ $

Оновити 05.12.2012

Мотивація

Мотивація , що використання має бути можливим , щоб визначити оптимальне обмеження гр * , як це повинно бути гіперплоскость визначається п точок O . $O$$c^*$$n$$O$

Оптимальне обмеження - це те, що призводить до оптимального багатогранника P ∗ .$c^*$$P^*$

Оптимальним політопом є той, вершини якого всі, і лише цілі вершини початкового багатогранника Р (ціла вершина - це вершина, координати якої цілі).$P^*$$P$

Процес може бути повторений для кожного обмеження екземпляра I 0-1 L P , кожен раз замінюючи c відповідним оптимальним обмеженням c ∗ . Зрештою, це призведе до оптимальних багатогранника P * від I . Тоді, оскільки вершини Р * все і тільки цілі вершини вихідного багатогранника P з I , будь-який алгоритм для L P може бути використані для обчислення оптимальних цілочисельного рішення. Я знаю , що , будучи в стані обчислити P * ефективно буде означати $c$$LP$$I$$c$$c^*$$P^*$$I$$P^*$$P$$I$$LP$$P^*$ , однак наступне додаткове питання все ще залишається:$P = NP$

Додаткове запитання

Чи є якась попередня робота за цими напрямками? Хтось уже досліджував завдання обчислення, задавши політопу , його відповідний оптимальний політоп Р ∗ ? Який найвідоміший алгоритм для цього?$P$$P^*$

Здається, це складно зробити NP, зменшивши суму підмножини. Припустимо , що ми мали ефективну процедуру для обчислення . З огляду на додатні цілі числа v 1 , … , v n, закодовані у двійковій формі, ми хочемо перевірити, чи є підмножина підсумовування до s . Попередньо обробити, викинувши цілі числа, більші ніж s .$O$$v_1,\dots,v_n$$s$$s$

Викличте процедуру, щоб отримати невеликий набір точок, що задовольняє v 1 x 1 + ⋯ + v 1 x n ≤ s , що відповідає вашим умовам мінімальності (попередня обробка забезпечує | S c | ≥ n ). Цей набір, безумовно, буде містити крапку на гіперплані v 1 x 1 + ⋯ + v 1 x n = s, якщо така є.$O$$v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$$|S_c|\geq n$$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

Мені здається, ви намагаєтеся потрапити на опуклий корпус IP - по суті, саме цього намагаються досягти алгоритми вирізання. Незважаючи на те, що привабливі ці методи практично погані.

Існує вся теорія щодо генерування дійсних нерівностей. Гарною відправною точкою буде теорія книг Шрівера про ціле програмування.