Точні алгоритми для невипуклого квадратичного програмування

Це питання стосується задач квадратичного програмування з обмеженнями поля (box-QP), тобто проблем оптимізації форми

мінімізувати умови . $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

Якби було напіввизначеним позитивним, то все було б добре, опукло і легко, і ми могли б вирішити проблему за багаточлен. $A$

З іншого боку, якби ми мали обмеження інтегральності , ми могли б легко вирішити задачу в часі грубою силою. Для цілей цього питання це досить швидко. $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Але як бути з невипуклим безперервним випадком? Який найшвидший відомий алгоритм для загальних ящиків QP?

Наприклад, чи можемо ми вирішити їх у помірно експоненціальний час, наприклад, , або це найгірша складність найбільш відомих алгоритмів чимось набагато гіршою? $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Передісторія: У мене є кілька досить маленьких вікон QP, які я б хотів вирішити, і я був здивований, побачивши, як погано працюють деякі комерційні програмні пакети, навіть при дуже малих значеннях . Мені стало цікаво, чи є пояснення ТКС для цього спостереження. $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— Юкка Суомела
джерело

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

Шляхом усунення кількісних показників на реальних закритих полях завжди можна точно вирішити ці системи.

O (3^{n})

$O(3^n)$

Оптимальне рішення лежить на якомусь обличчі. Отже, ми можемо пройти всі грані куба і знайти всі нерухомі точки на кожній з граней.

$I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

$\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

Для цього ми беремо диференціювання цільової функції для отримання

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

Розв’язування цієї системи лінійних рівнянь дає вам стаціонарні точки, кандидати на оптимальні рішення. Ми проходимо їх усі, перевіряємо стан і вибираємо той з мінімальним об'єктивним значенням.

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— Йосіо Окамото
джерело

f

$f$

@cody: Це тому, що кожен багатогранник - це роз'єднаний союз його облич.

— Йосіо Окамото

f

$f$

@cody: властивість все ще зберігається, але нам потрібно вирішити алгебраїчне рівняння ступеня більше одиниці. Боюся, це не тривіально для багатоваріантних випадків.

— Йосіо Окамото