Навіщо нам потрібна формальна семантика для логіки предиката?

Вважайте це питання вирішеним. Я не підберу найкращої відповіді, оскільки всі вони внесли свій внесок у моє розуміння теми.

Я не впевнений, яку користь ми отримуємо, формально визначивши семантику логіки предиката. Але я бачу цінність у формальному обчисленні доказів. Моя думка полягає в тому, що нам не потрібна формальна семантика для обгрунтування правил виведення доказових розрахунків.

Ми могли б визначити числення, яке імітує «закони думки», тобто правила умовиводу, які використовуються математиками протягом сотень років для підтвердження своїх теорем. Таке обчислення вже існує: природна дедукція. Тоді ми б визначили це обчислення як надійне та повне.

Це можна виправдати, розуміючи, що формальна семантика предикатної логіки - це лише модель. Доречність моделі можна виправдати лише інтуїтивно. Таким чином, показавши, що природний дедукція є здоровою і повною з посиланням на формальну семантику, не робить природну дедукцію більш "справжньою". Було б так само добре, якби ми прямо виправдовували правила природної дедукції інтуїтивно. Об'їзд із використанням формальної семантики не дає нам нічого.

Тоді, визначивши природну дедукцію як надійну і повну, ми могли б показати обгрунтованість та повноту інших обчислень, показавши, що отримані ними докази можуть бути переведені на природну дедукцію і навпаки.

Чи правильні мої роздуми вище? Чому важливо доводити обґрунтованість та повноту доказів обчислення, посилаючись на формальну семантику?

Незначний коментар та більш серйозна відповідь.

По-перше, не має сенсу оголошувати систему природних відрахувань завершеною фіатом. Природна дедукція цікава саме тим, що вона має природне внутрішнє поняття консистенції та / або повноти, а саме - висічення. Це фантастична теорема, і IMO повністю виправдовує спроби дати суто доказово-теоретичну семантику (і відповідно до відповідності СН це також виправдовує використання оперативних методів у семантиці мови програмування). Але це цікаво саме тим, що воно пропонує більш вдосконалене поняття правильності логіки, ніж послідовність. Беручи доказ теоретичний шлях означає, що вам доведеться зробити більше роботи, але в обмін ви отримаєте більш сильні результати.

Однак трапляється, що часом логіка сама по собізаймає другорядну роль. Ми можемо почати з (сімейства) моделей, а потім шукати способи говорити про них синтаксично, використовуючи логіку. Надійність та повнота логіки щодо сімейства моделей вказує на те, що логіка дійсно захоплює все як цікаве, так і правдиве, що можна сказати про клас моделей. Конкретний приклад того, коли моделі цікавіші, ніж логічні теорії, виникають при аналізі програм та перевірці моделей. Там звичайне, що потрібно зробити, це прийняти вашу модель як виконання програми, а логіка - якийсь фрагмент часової логіки. Пропозиції, які ви можете сказати на цих мовах, (навмисно) не є надзвичайно захоплюючими - наприклад, нульові відміни вказівників ніколи не виникають - але факт, що він застосовується до дійсних програмних програм, викликає інтерес.

Я просто додам ще одну перспективу, щоб доповнити вищевказані відповіді. По-перше, ці роздуми варті, і багато людей мали подібні ідеї. У філософії це іноді називають «доказово-теоретичною семантикою», що приваблює роботи Нуеля Белнапа, Дага Правіца, Майкла Даммета та інших у 60–70-х роках, які самі звертаються до роботи Гентцена про природну дедукцію. Пер Мартін Льоф та Жан-Ів Жирар також, здається, пропонують варіанти цієї позиції у своїх працях. І якщо говорити дуже широко, то в мовах програмування це «синтаксичний підхід до типу звучання».

Вся справа в тому, що навіть якщо ви визнаєте, що правилам логіки не потрібна окрема смислова інтерпретація, не дуже цікаво / корисно сказати, що вони самовиправдані, і залишити це при цьому. Питання полягає в тому, що досягає формальна семантика і чи можна досягти того ж за допомогою меншої кількості об'їздів. Однак проект об'єднання теорії моделей з теорією аналітичного доказування є важливим, але все ще не вирішеним, його активно ведуть за різними фронтами, включаючи категоричну логіку, семантику ігор та "людику" Жирара. Наприклад, на додаток до того , що згаданий Чарльз, ще один якісний вигода від наявності моделей є здатність забезпечити конкретні контрприклади до НЕ-теореми, а питання полягає в тому, як осмислити це при "прямому" підході. Одну відповідь, натхненну людикою, дивіться у розділі "Про значення логічної повноти" Мішеля Базалделли та Казушіге Теруя.

Формальна семантика надає прямого значення термінів в обчисленні незалежно від правил синтаксичного доказування для маніпулювання ними. Без формальної семантики ви можете констатувати, чи правильні правила дедукції чи правильність (обгрунтованість) чи достатньо їх (повноти)?

Існували "закони думки", запропоновані до того, як з'явилася природна дедукція. Силогізми Арістотеля були однією з таких збірок. Якби ми визначили їх надійними та повноцінними, ми б, можливо, все-таки їх використовували б сьогодні, а не розробляли більш досконалі логічні методи. Справа в тому, що якщо силогізми повністю фіксують закони думки, навіщо нам потрібно розробити будь-яку подальшу логіку. Що робити, якщо вони насправді були непослідовними? Наявність семантики разом з формальним обчисленням, а також підтвердження міцності та повноти, що з'єднують їх, забезпечує вимірювальну паличку для оцінки цінності такої системи міркувань. Він більше не стоятиме на самоті.

$X\lor \neg X$навіть йти так далеко, стверджуючи, що ми повинні прийняти, що немає жодної справжньої логіки та прийняти плюралістичне ставлення, використовуючи найбільш відповідну логіку для цього випадку. Враховуючи безліч логік, доступних для вчених-комп'ютерів (лінійна логіка, логіка розділення, конструктивна логіка вищого порядку, багато модальних логік, все в класичних та інтуїтивістських різновидах), прийняття плюралістичного ставлення - це те, що більшість із нас, ймовірно, не давали жодної секунди Думаю, адже логіка - це інструмент для вирішення певної проблеми, і ми намагаємось вибрати найбільш відповідну. Формальна семантика - це один із способів судити про доцільність логіки.

Інша причина, що має формальну семантику, полягає в тому, що логіки більше, ніж обчислення предикатів. Багато з цих логік покликані міркувати про певний тип системи. (Я думаю про модальну логіку). Тут клас систем відомий, а логіка приходить пізніше (хоча історично це теж не відповідає дійсності). Знову ж таки, обгрунтованість підказує, чи правильно аксіоми логіки фіксують «поведінку» системи, а повнота підказує, чи вистачає нам аксіом. Без семантики, як би ми дізналися, чи є достатніми правила дедукції, а не дурниці?

Однією з прикладів логіки, яка була визначена суто синтаксично і все ще триває робота щодо надання їй формальної семантики, є логіка BAN для міркування про криптографічні протоколи. Правила логічного умовиводу здаються розумними, тому навіщо надавати формальну семантику? На жаль, логіка BAN може бути використана для доведення правильності протоколу, але можливі напади на такі протоколи. Тому правила дедукції помилкові , принаймні щодо очікуваної семантики.

Я погоджуюся з supercooldave, але є ще одна, більш прагматична причина того, що потрібно більше, ніж якийсь набір чи інші правила виводу, що характеризують логіку: даний набір правил виводу має тенденцію не відповідати на типи проблем, з якими стикається логіка використовувати.

Якщо у вас є логіка, визначена переліком аксіом і кількох правил як система Гільберта, зазвичай буде важкою роботою розібратися, як довести задану теорему в системі, і без теоретичного розуміння ви не збираєтеся вміти довести, що дане судження не може бути доведено в системі. Традиційні моделі хороші для доказування властивостей, які мають індукцію для всієї логіки.

Чотири інструменти корисні для вирішення проблем, які хоче вирішити більшість логіків, розташованих від найменш до найбільш семантичних:

1. Системи в стилі Гільберта корисні для характеристики логічного зв'язку наслідків логіки, і вони, як правило, хороші для категоризації декількох логік, таких як суперникові модальні логіки;
2. Системи Tableau хороші для формалізації алгоритмів прийняття рішень. Як правило, якщо логіка є рішучою, можна знайти систему закінчувальних таблиць як алгоритм прийняття рішення, а якщо ні, то можна знайти потенційно незакінчену систему таблиць, яка забезпечує процедуру напівприйняття рішення. Якщо хочеться показати верхню межу складності розв'язуваності (тобто класу складності логіки), то на перше місце, як виглядає, є системи таблиць.
3. Аналітичні доказові теорії, такі як природна дедукція Гентцена та послідовне обчислення, дають уявлення про докази, які є корисними для міркування, та пропонують поняття аналітичного доказування, що корисно для доказу корисних властивостей, таких як інтерполяція для теорії.
4. Теорії моделей у стилі Тарскі часто навіть кращі для міркувань про логіку, оскільки вони майже повністю абстрагуються від синтаксичних деталей логіки. У модальній логіці та теорії множин вони настільки краще дають результати, що ці логіки, як правило, мають дуже обмежений інтерес до теорії таблиць та аналітичних доказів.

Оскільки суперохолодження згадувало інтуїціоністичну логіку: без правила виключеної середини теорія моделі стає набагато складнішою, а аналітичні теорії доказів стають більш важливими, як правило, семантикою вибору. Алгебраїчні методи, такі як теорія категорій, стають переважними для абстрагування від синтаксичної складності.