Яка просторова складність обчислення власних значень?

Я шукаю оглядовий документ або книгу, що висвітлює результати про складність простору звичайних операцій лінійної алгебри, таких як ранг матриці, обчислення власних значень тощо. Я наголошую на частині «складності простору», що означає складність робочого простору, а не складність у часі, оскільки це простіше відстежити результати часу. Я вдячний за будь-яку посилання в цьому питанні.

Спасибі.

linear-algebra space-complexity

— гіл
джерело

Я думаю, що складність завжди більшою лінійної (наприклад для матриці). Вас цікавить "загальний простір" чи "робочий простір"?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

я мав би зазначити, що мене цікавить робочий простір.

— gil

Я впевнений, що це для матриці . Основна причина полягає в тому, що я знаю два корисні методи їх обчислення, і обидва є квадратичними в просторі. Спочатку - обчислення характерного многочлена (квадратичного) та знаходження коренів. По-друге, це використання деяких методів наближення, які всі потребують для зберігання модифікованої матриці (але я не можу деталізувати це, пройшов час, коли я вивчав числову лінійну алгебру).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— років »

Для розширення точки, зробленої @Yuval Filmus, складність простору досить чутлива до конкретної обчислювальної моделі. Зокрема, оскільки вихід має лінійний розмір, можна виконувати трюки, використовуючи вихідну стрічку як робочу область, якщо модель чітко не визначає вихідну стрічку лише для запису. Щоб уникнути подібних проблем, я б спокусився перефразувати як проблеми з рішенням (наприклад, подано як вхідні три матриці, перевірте, чи третя є добутком перших двох). Не могли б ви вказати модель, яку ви мали на увазі? (Крім того, я не знаю книг про складність простору, і не знайшов корисних опитувань.)

— András Salamon

стосовно @ AndrásSalamon, тому корисна для мене версія рішення може бути: чи k'th власне значення у величині більше q. для цілого k та раціонального q. Спасибі.

— gil

Відповіді:

Версії для вирішення багатьох поширених задач лінійної алгебри над цілими числами (або раціоналами) знаходяться в класі , див. Статтю $\mathsf{DET}$

Герхард Бантрок, Карстен Дамм, Ульріх Гертрампф, Крістоф Мейнел: структура та значення класу Logspace-MOD. Теорія математичних систем 25 (3): 223-237 (1992)

$\mathsf{DET}$ міститься в . $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Обчислення власних значень трохи делікатніше:

1) У можна обчислити коефіцієнти характерного многочлена. $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) Тоді ви можете використовувати паралельний алгоритм Рейфа та Неффа для обчислення наближень до власних значень. Алгоритм працює на CREW-PRAM в логарифмічний час з поліноміально багатьма процесорами, тому його можна імітувати за допомогою полі-логарифмічного простору. (У документі це прямо не зазначено, але їх PRAM має бути однорідним у просторі журналу.) Використовуваний простір є полілогіармічним за розміром вхідної матриці та точністю . Точність означає, що ви отримуєте наближення до адитивної помилки . $p$ $p$ $2^{-p}$

Це об'єднання функцій, які можна обчислити в полі-логарифмічному просторі. (Вихідні стрічки - це лише запис і одностороння.)

C. Ендрю Нефф, Джон Х. Рейф: Ефективний алгоритм складної проблеми коренів. Дж. Складність 12 (2): 81-115 (1996)

— Маркус Блазер
джерело

$log^2$ $NC^2$

— Ліор Ельдар
джерело