Розширення оператора шуму

У проблемі, над якою я зараз працюю, розширення оператора шуму виникає природно, і мені було цікаво, чи були раніше роботи. Спершу дозвольте переглянути основний оператор шуму на реально оцінених булевих функціях. Давши функцію f : { 0 , 1 } n → R і ε , p st 0 ≤ ε ≤ 1 , ε = 1 - 2 p , визначимо T ε → R як T ε f ( $T_{\varepsilon}$$f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\varepsilon$$p$$0 \leq \varepsilon \leq 1$$\varepsilon = 1 - 2p$$T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$$T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

- розподіл на y, отриманий шляхом встановлення кожного біта n- бітноговектора на 1 незалежно з ймовірністю p і 0 в іншому випадку. Еквівалентно, ми можемо вважати цей процес як перегортання кожного біта x з незалежною ймовірністю p . Зараз цей оператор шуму має багато корисних властивостей, серед яких мультиплікативний T ε 1 T ε 2 = T ε 1 ε 2 і має хороші власні значення та власні вектори ( T ε ( χ S$\mu_p$$y$$n$$1$$p$$0$$x$$p$$T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ де χ $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$$\chi_S$ належить до паритетної основи).

Дозвольте зараз визначити моє розширення , яке я позначаю як R ( p 1 , p 2 ) . R ( p 1 , p 2 ) → R задається через R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y ∼ μ p , x [ f ( x + y ) ] . Але тут наш розподіл $T_\varepsilon$$R_{(p_1,p_2)}$$R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$$R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ є таким, що ми перевертаємо1бітxна0з ймовірністю p 1 і0бітxна1з ймовірністю p 2 . ( μ p , x тепер явно є розподілом, залежним відx,де оцінюється функція, і якщо p 1 = p 2, то R ( p 1 , p 2 ) зводиться до "звичайного" оператора шуму.)$\mu_{p,x}$$1$$x$$0$$p_1$$0$$x$$1$$p_2$$\mu_{p,x}$$x$$p_1 = p_2$$R_{(p_1,p_2)}$

Мені було цікаво, чи цей оператор вже добре вивчений десь у літературі? Або основні властивості цього очевидні? Я тільки починаю з булевого аналізу, тому це може бути зрозумілим для когось більш знайомого з теорією, ніж я. Зокрема, мене цікавить, чи мають власні вектори та власні значення деякі приємні характеристики, чи є якась мультиплікативна властивість.$R_{(p_1,p_2)}$

Я відповім на другу частину питання.

I. Власні значення та власні функції

Розглянемо спочатку одновимірний випадок . Неважко перевірити, що оператор R p 1 , p 2 має дві власні функції: 1 і ξ ( x ) = ( p 1 + p 2 ) x - p 1 = { - p 1 ,  якщо  x = 0 , p 2 ,  якщо  x = 1. із власними значеннями 1 $n=1$$R_{p_1,p_2}$$1$

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ $1$ і відповідно.$1-p_1 - p_2$

Тепер розглянемо загальну справу. Для , нехай ξ S ( x ) = ∏ i ∈ S ξ ( x i ) . Зауважте, що ξ S - власна функція R p 1 , p 2 . Адже оскільки всі змінні x i є незалежними, ми маємо R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) $S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

Отримаємо, що - власна функція R p 1 , p 2 з власним значенням ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | для кожного S ⊂ { 1 , … , n } . Оскільки функції ξ S ( x ) охоплюють весь простір, R p 1 , p $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$не має інших власних функцій (які не є лінійними комбінаціями ).$\xi_S(x)$

II. Мультиплікативна властивість

Загалом, "мультиплікативна властивість" не виконується для оскільки власнеоснова R p 1 , p 2 залежить від p 1 і p 2 . Однак маємо R 2 p 1 , p 2 = R p ′ 1 , p ′ 2 , де p ′ 1 = 2 p 1 - ( p 1 + $R_{p_1,p_2}$$R_{p_1,p_2}$$p_1$$p_2$

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$$R_{p_1,p_2}$$R_{p_1',p_2'}$$\{\xi_S\}$ $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$. Consider the operator

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ It maps every multilinear polynomial $f$ to a multilinear polynomial $A[f]$. We have, $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ where $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$. Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$.